методички / 4046 ЭИ

Здесь JCz , – момент инерции тела и угловая скорость по отношению к центру масс.

Приведем без вывода выражение теоремы об изменении кинетической энергии для системы, которая справедлива и для материальной точки, считая систему состоящей из одной точки.

Разделим силы, приложенные к системе, на внешние Fke и внутренние Fki , а их работу и мощность отметим теми же индексами, тогда теорема запишется в следующих вариантах, приведенных ниже.

Теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:

dT dAke dAki ,

т.е., дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил системы.

Теорема об изменении кинетической энергии в мощностной форме:

dTdt Nke Nki ,

т.е., первая производная по времени от кинетической энергии равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил системы.

Теорема об изменении кинетической энергии в конечной или интегральной форме:

T To Ake Aki ,

т.е., изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил системы на этом перемещении.

Частный случай. Если система состоит из твердых тел, связанных нерастяжимыми нитями, стержнями и другими недеформируемыми связями, то сумма мощностей и сумма работ внутренних сил равна нулю, а теоремы примут вид:

	dT	Nke ,	T To Ake .
	dt

Указанную теорему можно использовать для решения различных задач механики. В данной работе теорема об изменении кинетической энергии используется для определения момента сил сопротивления и конечной скорости опускания груза.

Работа выполняется на установке ТМд-10М, описание которой дано в лабораторной работе № 8.

51

Для экспериментального определения момента инерции рамки с грузами относительно оси вращения можно воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии. Для этого на шкив наматывается нить, за свободный конец которого крепится груз. Из состояния покоя рамка приводится во вращение за счет опускания груза. Груз, опустившись на полную длину намотанной нити, сообщит рамке некоторую угловую скорость, которая фиксируется тахометром. В начальный момент времени рамка находится в покое, следовательно, в этот момент ее кинетическая энергия равна нулю. Груз посредством шкива сообщает рамке вращающий момент, в результате чего рамка начинает вращаться. При этом на рамку также действует момент сил сопротивления, который примем постоянной величиной для упрощения дальнейших расчетов. Запишем значения кинетической энергии в начальный и конечный момент времени:

Т0 0 ,		J z 2		mг р	υ2
	T1					.	(1)
		2		2

Заметим, что работа момента силы тяжести, приложенного к рамке, равна работе силы тяжести груза при опускании его на заданную высоту. Работа силы тяжести груза определяется как работа постоянной силы на конечном перемещении:

A G mг р g h ,

(2)

где mгр – масса опускаемого груза, кг; h – высота, на которую груз опускается, м.

Будем считать, что нить, связывающая груз со шкивом, нерастяжима, прочие перемещения в системе отсутствуют, тогда для описания движения рамки используем теорему об изменении кинетической энергии в конечной форме для механической системы с наложенными на нее идеальными связями:

T To Ake .

(3)

Подставляя (1) и (2) в (3) и пренебрегая моментом сил сопротивления вращению, получим:

J z 2		mг р	υ2
				mг р gh .	(4)
2		2

Учитывая, угловая скорость рамки и соотношением υ R , где R – радиус шкива, в неизвестный момент инерции рамки с грузами Jz:

		2gh
	J z mг р
		2

линейная скорость груза связаны уравнении (4) подлежит определению

R2 .

52

Для того чтобы на практике убедиться в выполнении теоремы об изменении кинетической энергии, можно сравнить скорость груза в нижней точке, измерив ее каким-либо способом и рассчитав теоретически, используя указанную теорему, выразив скорость груза из формулы (4):

υ			2mгр gh			.
			J Z	m
			R2	гр

Порядок выполнения работы

Экспериментальная часть

1.Замерить радиус шкива R. Взвесить массу груза mгр. Результаты внести в табл. 1.

2.Груз прикрепить к нити, намотанной на шкив. Удерживать его, не давая рамке вращаться.

3.Освободить рамку, позволив ей самостоятельно вращаться. Замерить максимальную частоту вращения n по тахометру в момент опускания груза на высоту h. Частоту и высоту опускания груза занести в табл. 1.

5.Повторить вышеописанный эксперимент еще раз для повышения точности эксперимента. Заполнить значениями соответствующие ячейки табл. 1

								Таблица 1
№ эксп.	R, м	h, м	mгр, кг		Jz, кг·м2		n, об/мин	ω, рад/с
1
2
6. Заполнить табл.		1 недостающими		значениями		момента инерции рамки,

пересчитать частоту вращения в угловую скорость рамки i ni [рад/с]. 30

7.Для проверки выполнения теоремы об изменении кинетической энергии провести опыт с грузом произвольной массы m (можно использовать шкив другого радиуса). Засечь время опускания груза по секундомеру. Опыт повторить дважды.

8.Исходные данные и результаты второго эксперимента записать в табл. 2.

Таблица 2

№ эксп. m, кг

R, м

t, с n, об/мин ω, рад/с υ1, м/с υ2, м/с υ*, м/с

δ, %

1

2

53

Расчетная часть

1. Вычислить момент инерции рамки с грузами

	2gh		2
J z mг р		R		,
	2

результаты записать в табл. 1. Сравнить с полученным в лабораторной работе № 6 значением.

2.Вычислить реальную скорость груза в нижней точке по максимальному значению угловой скорости, зафиксированной по тахометру: υ1 R . Результаты записать в табл. 2.

3.Вычислить конечную скорость груза, используя высоту и время опускания,

считая ускорение постоянным: υ

2h

. Результаты записать в табл. 2.

2

t

4.

Вычислить скорость груза, используя теорему об изменении кинетической энергии:

υ*

2mгр gh

.

J Z

m

R2

гр

5. Определить среднее

значение

относительной погрешности результата

эксперимента. Записать в табл. 2.

υ υ*

1

100% .

υ*

6.

Сделать выводы по работе.

Контрольные вопросы

1.Что называют кинетической энергией материальной точки и механической системы?

2.Напишите выражение кинетической энергии тела при поступательном, вращательном и плоском движении.

3.Напишите выражения элементарной работы силы и ее работы на конечном перемещении точки ее приложения. Работа силы тяжести и силы упругости.

4.Как записываются выражения теоремы об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной и конечной (интегральной) формах?

5.Сформулируйте законы сохранения механической энергии.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Бутенин Н.В. Курс теоретической механики / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. – 8-е изд., стереотип. – СПб.: Лань, 2006. – 731 с.

2.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высш. шк., 1995. – 416 с.

3.Яблонский А.А. Курс теоретической механики: учебник / А.А. Яблонский, В.М. Никифорова. – 11-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2004. – 768 с.

54

СОДЕРЖАНИЕ
Введение ...................................................................................................................................	3
Общие указания к выполнению лабораторных работ .........................................................	3
Лабораторная работа № 1. Исследование плоской системы сходящихся сил ..................	4
Лабораторная работа № 2. Исследование произвольной плоской системы сил.............	11
Лабораторная работа № 3. Определение центра тяжести плоских фигур.......................	17
Лабораторная работа № 4. Изучение способов определения параметров
движения точки.........................................................................	23
Лабораторная работа № 5. Изучение колебаний математического маятника ................	30
Лабораторная работа № 6. Применение принципа Даламбера при определении
динамических реакций связей механической системы ........	33
Лабораторная работа № 7. Применение закона о сохранении кинетического
момента к изучению вращения изменяемой
механической системы .............................................................	40
Лабораторная работа № 8. Применение теоремы об изменении кинетического
момента к определению момента инерции ротора ...............	44
Лабораторная работа № 9. Применение теоремы об изменении кинетической
энергии к исследованию движения механической
системы ......................................................................................	49
Библиографический список..................................................................................................	54

55