методички / 4046 ЭИ

Для случая малых колебаний, когда sin(φ) ≈ φ, получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка, моделирующее процесс гармонических колебаний:

2 0 ,

	где		g		– циклическая частота колебаний.
			L

Тогда период колебаний будет равен:

T2 2 L .

g

Полученные соотношения предлагается проверить в ходе выполнения лабораторной работы № 1.

Лабораторная работа выполняется на установке ТМд-08, состоящей из основания, стойки и закрепленной на ней нити с регулируемой длиной. На свободном конце нити закреплен груз переменной массы.

Порядок выполнения работы

1. Прикрепить к нити груз и подвесить его к штативу. Исследовать зависимость периода колебаний от длины нити. Для этого определить время 20 полных колебаний маятников длиной 20 см, 40 см, 60 см и 80 см. Вычислить период колебаний в каждом случае. Результаты измерений и вычислений с учетом погрешности измерений занести в табл. 1. Считать погрешность измерения времени равной цене деления секундомера. Сделать вывод.

					Таблица 1
L, м	n	t ± t, с	Tэ± T, c	ТT	δT
0,20	20
0,40	20
0,60	20
0,80	20

2. Показать, что период колебаний математического маятника не зависит от массы груза. Для этого к нити неизменной длины, равной 50 см, необходимо подвешивать грузы разной массы. Для каждого случая определить период колебаний, сохраняя одинаковой амплитуду колебаний. Сделать вывод, определив относительную погрешность по формуле

	T	T1 T2	100,	(1)
		TCP

где ТСР = 0,5 (Т1 + Т2). Результат занести в табл. 2

31

				Таблица 2
m	n	t ± t, c	T± T, c	δT
m1	10
m2	10

3. Показать, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Для этого маятник длиной 40 см отклонить сначала на 3 см, а затем на 4 см от положения равновесия и определить период колебаний в каждом случае. Результаты измерений и вычислений с учетом погрешности измерений занести в табл. 3. По формуле (1) определить относительную погрешность.

				Таблица 3
А,см	n	t± t, c	T±ΔT, c	δT
3	10
4	10

4. Сравнить значение периода колебаний из табл. 1 с теоретическим его значением, определив его по формуле

TТ 2 Lg ,

приняв значение g = 9,81 м/ с2. Для этого определить относительную погрешность в процентах по формуле

Т ТТ Т Э 100

ТТ

изанести результат в табл. 1.

5.Определить ускорение свободного падения, используя формулу периода колебаний математического маятника. Для этого следует использовать результаты измерений в таблице 1, вычислив ускорение свободного падения по формуле:

g 4 2 l , T 2

где l – длина нити. Вычислить относительную и абсолютную погрешности измерения ускорения свободного падения для каждого случая по формулам:

	g	g		l		2 T	;	g g g .
		g		l		T

32

Погрешность измерения длины нити считать равной половине цены деления измерительной ленты (линейки).

Записать результаты в табл. 4.

Таблица 4

	№ опыта	l± l,м	n	t ± t,c	T±ΔT,c	g, м/с2	g, м/с2	g±Δg,
								м/с2
	1	0,20±	20
	2	0,40±	20
	3	0,60±	20
	4	0,80±	20

Контрольные вопросы

1.Что называют периодом колебаний маятника?

2.Что называют частотой колебаний маятника?

3.От каких величин и как зависит период колебаний математического маятника?

4.Какие колебания называют свободными?

5.Записать дифференциальное уравнение движение математического маятника в точной и линеаризованной формах.

Лабораторная работа № 6

ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ (СЛУЧАЙ ДИНАМИЧЕСКОГО ДИСБАЛАНСА СТАТИЧЕСКИ УРАВНОВЕШЕННОЙ СИСТЕМЫ ВРАЩАЮЩИХСЯ МАСС)

Цель работы: научиться определять динамические реакции движущихся механических систем методом Даламбера; изучить явление динамического дисбаланса вращающейся механической системы.

Теоретические сведения

Принцип Даламбера утверждает, что в каждый момент движения точки сумма активных сил, реакций связей и силы инерции равна нулю.

Согласно второму закону Ньютона для материальной точки можно записать:

	ma F a R или			F a R ma 0 ,
где F a – равнодействующая		активных		сил,	т.е.	не зависящих от связей;
	– равнодействующая реакций связей. Силой инерции материальной точки называется
R
			33

вектор Ф , равный произведению массы точки на ее ускорение и направленный противоположно вектору ускорения

Ф ma .

При этом нужно иметь ввиду, что сила инерции к точке не приложена, а приложена к телу, сообщающему точке ускорение. Однако формально можно считать, что система сил, приложенных к точке уравновешена, т.е. их векторная сумма равна нулю. Используя понятие силы инерции, можно записать первое уравнение в виде, выражающем принцип Даламбера или кинетостатического равновесия:

F a R Ф 0 .

Этот принцип позволяет применять методы статики для решения задач динамики. Одному векторному уравнению соответствуют три скалярных уравнения в проекциях на оси координат.

Принцип Даламбера для механической системы формулируется так же, как и для точки, только это относится к каждой точке системы, а именно, в каждый момент движения механической системы сумма активных сил, реакций связей, приложенных к точкам системы, и сил инерции, равна нулю.

В данном случае имеет место система уравнений, число которых равно числу k точек системы. Из этих уравнений приведением всех сил к главному вектору и главному моменту можно получить в векторной форме два уравнения кинетостатики:

Fka Rk Фk 0 ; Mkoa				MkoR	MkФо 0.

Первое уравнение выражает равенство нулю главных векторов активных сил, реакций связей и сил инерции, а второе уравнение равенство нулю главных моментов этих же сил относительно неподвижной точки O в любой момент движения системы.

Этим двум векторным уравнениям соответствуют шесть скалярных уравнения в проекциях на координатные оси.

Если к каждой точке движущейся механической системы приложить соответствующую силу инерции, то действующие на систему силы и силы инерции уравновесятся. При этом в зависимости от характера движения тела, систему сил

инерции можно заменить или главным вектором сил инерции							Фк Фu m		ac , или
главным	моментом сил инерции M коФ	Mои		(который в			случае	вращательного
движения	относительно оси вращения равен
			М u J		z	), или обоими инерционными
			z
факторами вместе, где m – масса тела; aс		–	ускорение его центра масс; Jz –						момент

инерции тела относительно оси вращения z; – угловое ускорение тела. Необходимо

отметить, что линия действия силы Фu в общем случае не проходит через точку С

(центр масс системы).

34

В представленной лабораторной работе требуется определить реакции подшипника A вала, вращающего с постоянной угловой скоростью ω вокруг горизонтальной оси x, если m1 = m2 = m3 = m4 – масса грузов 1–4, закрепленных на расстоянии r1 = r2 = r3 = r4 от оси вращения. Расстояние от неподвижной шарнирной опоры O до проекции соответствующего груза на ось x (ось вращения) равны l1, l2, l3, l4.

Изобразим вал и прикрепленные к нему грузы в соответствии с заданными размерами (рис. 1).

Для определения искомых реакций рассмотрим движение заданной механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом координатные оси xOy так, чтобы стержни лежали в горизонтальной плоскости xy и изобразим действующие на систему силы: реакции связей – составляющие реакции подпятника YO и реакцию цилиндрического подшипника YA.

Рис. 1. Расчетная схема установки ТМд-10

Согласно принципу Даламбера присоединим к этим силам силы инерции грузов, считая их материальными точками.

Так как вал вращается с постоянной угловой скоростью, то грузы имеют только центростремительные ускорения a̅цс k = ω2 rk, где rk – расстояние от оси вращения. Тогда силы инерции будут направлены от оси вращения и численно Фku mk aцс k , где mk –

масса k-го груза.

Согласно принципу Даламбера приложенные внешние силы (активные реакции связей) и силы инерции образуют уравновешенную систему сил.

Все эти силы лежат в одной плоскости – горизонтальной, т.е. имеем плоскую систему сил, поэтому можно составить только три уравнения равновесия:

Fkx 0 ;
Fky 0 ;	YO Ф1и Ф3и Ф2и Ф4и YA 0 ;
MO Fk 0 ; Ф1и l1 Ф2и l2 Ф3u l3 Ф4u l4		YA L 0 .
	35

Полученная система трех уравнений равновесия фактически представляет собой два независимых уравнения (т.к. нет сил, проецируемых на ось Ox), включающих в себя две неизвестные реакции YO и YA, значения которых можно найти, подставив соответствующие величины и решив эту систему уравнений. Учитывая, что массы грузов и их ускорения одинаковы, величина силы инерции для всех грузов также будет одинакова. Обозначив ее как Фи, получим формулу для расчета динамической реакции опоры А:

Y			Фи l	2	Фи l	4	Фu l	Фu l	Фи	l	2	l l	4	l		.
	A		2		4		1 1	3 3				1			3
							L					L

Лабораторная работа выполняется на установке ТМд-10, схематическое изображение которой приведено на рис. 2.

Принцип действия прибора основан на явлении возникновения колебаний вращающейся рамки 1 с грузами 2 под действием неуравновешенного момента, вызванного действием центробежных сил инерции.

Рис. 2. Схема установки ТМд-10

Прибор выполнен в виде основания 3 с двумя стойками 4 и 5, в которых закреплена вращающаяся рамка 1 с подвижными грузами 2, приводимая в движение посредством рукоятки 6.

Левая стойка 4, представляющая собой шарнирную опору, выполнена в виде подшипника, обеспечивающего вращение рамки и имеющего возможность поворота на небольшой угол вокруг вертикальной оси.

Правая стойка 5 оборудована узлом линейных перемещений, представляющего собой подшипник, закрепленный в горизонтальных направляющих и имеющий

36

возможность перемещения в горизонтальной плоскости перпендикулярно оси рамки. Центрирование опоры осуществляется под действием пружин, натяжение которых регулируется винтами 7. Пружинами обеспечивается перемещение опоры пропорционально действующей на опору нагрузке. Указанное перемещение фиксируется посредством стрелочного указателя 8 с фиксаторами амплитуды колебаний.

Порядок выполнения работы

Экспериментальная часть

1. Каждой подгруппе задается одно из положений грузов, вызывающее динамический дисбаланс системы (рис. 3). При этом следует отметить, что система является статически сбалансированной. Схема расположения грузов в виде номера схемы и изображения заносится в отчет.

Рис. 3. Схемы расположения грузов

2. Производится обмер установки, в отчет заносятся следующие размеры: Радиус вращения грузов r, м.

Расстояние от шарнирной опоры до центра масс каждого груза l1, l2, l3, l4, м. Расстояние от шарнирной до подвижной опоры L, м.

					Таблица 1
r, м	l1, м	l2, м	l3, м	l4, м		L, м

37

3.Установка раскручивается до произвольно выбранной частоты вращения, отображаемой электронным тахометром в об/мин. Значение заносится в таблицу 2

отчета.

4.Визуально по колебаниям стрелки и фиксаторам максимального отклонения фиксируется среднее отклонение стрелки.

5.По тарировочному графику (рис. 4) определяется максимальное значение реакции опоры в горизонтальной плоскости Rmax. Значение заносится в таблицу 2 отчета.

Расчетная часть

1.Пересчитать частоту вращения (обороты в минуту) в значение угловой скорости

(радианы в секунду), записать в таблицу 2 отчета.

30n [рад/с].

2.Определить центростремительные ускорения центра масс грузов (по определенной угловой скорости и замеренному радиусу вращения), записать в табл. 2.

aцс 2 r.[м/с2].

Рис. 4. График тарировки подвижной опоры

38

3. Приняв массу каждого груза равной 0,6 кг, определить величину центробежной силы инерции груза, результат записать в табл. 2.

Фи m aцс .

Чтобы определить реакцию подвижной опоры А, используем уравнение:

Y	A	Фи l2 l1 l4 l3 .
		L

Полученное значение занести в табл. 2 отчета.

4.Сравнить полученное значение динамической реакции с величиной, полученной

входе эксперимента. Определить погрешность эксперимента. Записать в табл. 2.

YA Rmax

100%.

YA

Таблица 2

Измерения

Расчетные значения

Частота

Измеренная

Расчетная

Угловая

Нормальное

Сила

динамическая

Погрешность

вращения

реакция

скорость

ускорение

инерции

реакция

эксперимента

рамки

опоры А

опоры А

n, об/мин

Rmax, Н

ω, рад/с

an, м/с2

Фи, Н

YA, Н

δ, %

5.делать выводы по проделанной работе.

6.Подготовиться к защите лабораторной работы, ответив на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1.Что называют силой инерции, как она направлена?

2.В чем заключается принцип Даламбера?

3.Как направлена сила инерции груза, вращающегося с постоянной частотой вокруг неподвижной оси?

4.Чем вызван динамический дисбаланс в статически уравновешенных механических системах?

5.Как можно сбалансировать динамически неуравновешенную механическую систему? Сколько грузов для этого потребуется как минимум?

39

Лабораторная работа № 7

ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА О СОХРАНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА К ИЗУЧЕНИЮ ВРАЩЕНИЯ ИЗМЕНЯЕМОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Цель работы: убедиться на практике в выполнении закона сохранения кинетического момента.

Теоретические сведения

Теорема об изменении кинетического момента, изученная в предыдущей работе, имеет следствия, которые называют законами сохранения кинетического момента.

1. Если сумма моментов внешних сил системы относительно некоторой точки равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой точки есть

величина		постоянная как по модулю, так и по направлению, то есть, если
MO Fke 0 , то KO const .
	2.	Если сумма моментов внешних сил системы относительно некоторой оси

равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси есть величина

постоянная, то есть, если, например, e , то K =const.

M z Fk 0 z

Как следует из теоремы, внутренние силы не могут изменить кинетический момент системы, однако для неизолированной системы, они могут вызвать появление внешних сил, способных это сделать.

Так как для изменяемой системы момент инерции относительно оси вращения меняется, то подставляя, например, для оси z, выражение кинетического момента, получим для случая отсутствия внешнего момента

J z d 0 dt

или после интегрирования

J z const ,

из чего следует, что, к примеру, уменьшение момента инерции ведет за собой пропорциональное увеличение частоты вращения. Это обстоятельство необходимо учитывать при проектировании механизмов с изменяемой геометрией.

Лабораторная работа выполняется на установке ТМд-21, схематическое изображение которой приведено на рис. 1.

Прибор выполнен в виде основания 1 с двумя грузами 2, закрепленными на концах подвижных рычагов 3, перемещаемых посредством рукояти 4. В нижнем положении рукоять 4 фиксируется поворотом вокруг своей оси. При этом пружина 5 максимально сжата. Этому положению механизма соответствуют максимально разведенные грузы.

40