- •Г.В. Соколовська с.Ю. Соколовський вища математика
- •Розділ 1. Елементи лінійної алгебри
- •§1. Матриці. Визначники другого та третього порядків
- •§2. Властивості визначників другого та третього порядків
- •§3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Крамера
- •§4. Метод Гаусса виключення невідомих
- •Розділ 2. Векторна алгебра
- •§ 1. Основні поняття векторної алгебри
- •§ 2. Лінійні операції над векторами
- •Властивості лінійних операцій над векторами
- •§ 3. Проекція вектора на вісь
- •§ 4. Лінійна незалежність
- •§ 5. Базис і координати вектора
- •§ 6. Скалярний добуток двох векторів
- •Властивості скалярного добутку
- •§ 8. Векторний добуток
- •Властивості векторного добутку
- •§ 9. Мішаний добуток
- •Властивості мішаного добутку
- •Розділ 3.Елементи аналітичної геометрії
- •§ 1. Пряма лінія на площині як алгебраїчна лінія першого порядку
- •§2 Кут між двома прямими. Ознаки паралельності і перпендикулярності прямих
- •§3 Відстань від точки до прямої
- •§4Лінії другого порядку
- •§5 Рівняння поверхні і лінії у просторі
- •§6 Різні види рівняння площини у просторі
- •§7 Різні форми рівняння прямої у просторі
- •§8 Кут між двома площинами
- •§9 Кут між двома прямими
- •§10 Кут між прямою та площиною. Умови паралельності і перпендикулярності
- •§11 Відстань від точки до площини
- •Розділ 4.Вступ до математичного аналізу. Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •§1 Функція однієї змінної. Елементарна функція
- •§2 Границя функції
- •§3 Неперервність функції
- •§4 Нескінченно малі і нескінченно великі функції. Порівняння нескінченно малих
- •§5 Деякі важливі границі
- •§6 Розкриття деяких невизначеностей при обчисленні границь
- •§7 Односторонні границі
- •§8 Точки розриву функції
- •Правила обчислення похідних
- •§10 Диференціал функції
- •§11 Основні теореми про диференційовні функції
- •§11 Правило Лопіталя
- •§11 Ознака монотонності функції.
- •§12 Екстремум функції
- •§13 Опуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину
- •§13 Асимптоти графіка функції
- •Розділ 5. Функції кількох змінних
- •§ 1. Поняття функції кількох змінних
- •§ 2. Границя і неперервність функції двох змінних.
- •§ 3. Частинні похідні
- •§ 4. Диференціал функції двох змінних
- •§ 5 Градієнт і похідна в даному напрямі
- •§ 6. Частинні похідні другого порядку.
- •§ 7. Екстремум функції двох змінних
- •§ 8. Умовний екстремум
- •§ 9. Найбільше і найменше значення функції двох змінних в замкненій обмеженій області
- •Література
§11 Правило Лопіталя
Теорема 4.13. Нехай і . Функції і діфернційовні в деякому околі точки крім, можливо, самої точки , і . Тоді , якщо границя в правій частині рівності існує.
Приклад. Знайти .
Розв’язання. Маємо невизначеність виду . Тоді можна застосувати правило Лопіталя: .
Зауважимо, що
1) правило Лопіталя залишається справедливим і в тому випадку коли і прямують до нескінченності при ;
2) правило Лопіталя справедливе також для односторонніх границь і для границі при .
§11 Ознака монотонності функції.
Будемо казати, що функція , визначена на інтервалі , зростає (спадає) на цьому інтервалі, якщо для будь-яких двох точок , які задовольняють умову , виконується нерівність ( для спадної функції).
Зростаючі (рис.4.3) та спадні (рис 4.4) функції називаються монотонними.
Теорема 4.14 (ознака монотонності функції). Якщо функція має додатну похідну в кожній точці інтервалу , то функція зростає на цьому інтервалі. Якщо функція має від’ємну похідну в кожній точці інтервалу , то функція спадає на цьому інтервалі.
Доведення. Якщо в кожній точці інтервалу , то для будь – яких точок , таких, що за теоремою Лагранжа маємо , . Права частина останньої рівності додатна. Отже, , тобто функція зростає. Достатня умова спадання доводиться аналогічно.
§12 Екстремум функції
Точка з області визначення функції називається точкою максимуму (мінімуму) функції, якщо знайдеться такий окіл точки що для всіх з цього околу виконується нерівність (у випадку точки мінімуму ). Точки максимуму і мінімуму називають точками екстремуму функції.
Теорема 4.15 ( необхідна умова екстремуму). Якщо функція має екстремум в точці , і в цій точці існує похідна , то .
Таким чином, функція може мати екстремум в такій точці, в якій її похідна дорівнює нулю або не існує. Назвемо такі точки критичними.
Теорема 4.16 ( достатня умова екстремуму). Нехай функція неперервна в точці , і ця точка є критичною точкою функції. Тоді
1) якщо в кожній точці деякого інтервалу маємо , а в кожній точці деякого інтервалу виконано ( тобто похідна змінює знак з плюса на мінус), то - точка максимуму;
2) якщо в інтервалі і при ( тобто похідна змінює знак з мінуса на плюс), то - точка мінімуму.
Доведення проводиться по аналогії з доведенням теореми 4.14.
§13 Опуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину
Графік функції називають опуклим в точці , якщо існує такий окіл точки , що графік в цьому околі лежить під дотичною, проведеною до нього в точці . На рисунку 4.2 зображено графік функції, який є опуклим в точці з абсцисою . Якщо ж графік в деякому околі точки лежить над дотичною, то він називається вгнутим у цій точці ( рис. 4.1).
Графік функції називають опуклим (вгнутим) на інтервалі , якщо він опуклий ( вгнутий) в кожній точці цього інтервалу. Точка графіка, при переході через яку опуклість змінюється на вгнутість або навпаки, називається точкою перегину.
Теорема 4.17 ( достатня умова опуклості і вгнутості). Якщо в кожній точці інтервалу функція має додатну (від’ємну) похідну другого порядку , то графік функції на цьому інтервалі вгнутий (опуклий).