- •Г.В. Соколовська с.Ю. Соколовський вища математика
- •Розділ 1. Елементи лінійної алгебри
- •§1. Матриці. Визначники другого та третього порядків
- •§2. Властивості визначників другого та третього порядків
- •§3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Крамера
- •§4. Метод Гаусса виключення невідомих
- •Розділ 2. Векторна алгебра
- •§ 1. Основні поняття векторної алгебри
- •§ 2. Лінійні операції над векторами
- •Властивості лінійних операцій над векторами
- •§ 3. Проекція вектора на вісь
- •§ 4. Лінійна незалежність
- •§ 5. Базис і координати вектора
- •§ 6. Скалярний добуток двох векторів
- •Властивості скалярного добутку
- •§ 8. Векторний добуток
- •Властивості векторного добутку
- •§ 9. Мішаний добуток
- •Властивості мішаного добутку
- •Розділ 3.Елементи аналітичної геометрії
- •§ 1. Пряма лінія на площині як алгебраїчна лінія першого порядку
- •§2 Кут між двома прямими. Ознаки паралельності і перпендикулярності прямих
- •§3 Відстань від точки до прямої
- •§4Лінії другого порядку
- •§5 Рівняння поверхні і лінії у просторі
- •§6 Різні види рівняння площини у просторі
- •§7 Різні форми рівняння прямої у просторі
- •§8 Кут між двома площинами
- •§9 Кут між двома прямими
- •§10 Кут між прямою та площиною. Умови паралельності і перпендикулярності
- •§11 Відстань від точки до площини
- •Розділ 4.Вступ до математичного аналізу. Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •§1 Функція однієї змінної. Елементарна функція
- •§2 Границя функції
- •§3 Неперервність функції
- •§4 Нескінченно малі і нескінченно великі функції. Порівняння нескінченно малих
- •§5 Деякі важливі границі
- •§6 Розкриття деяких невизначеностей при обчисленні границь
- •§7 Односторонні границі
- •§8 Точки розриву функції
- •Правила обчислення похідних
- •§10 Диференціал функції
- •§11 Основні теореми про диференційовні функції
- •§11 Правило Лопіталя
- •§11 Ознака монотонності функції.
- •§12 Екстремум функції
- •§13 Опуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину
- •§13 Асимптоти графіка функції
- •Розділ 5. Функції кількох змінних
- •§ 1. Поняття функції кількох змінних
- •§ 2. Границя і неперервність функції двох змінних.
- •§ 3. Частинні похідні
- •§ 4. Диференціал функції двох змінних
- •§ 5 Градієнт і похідна в даному напрямі
- •§ 6. Частинні похідні другого порядку.
- •§ 7. Екстремум функції двох змінних
- •§ 8. Умовний екстремум
- •§ 9. Найбільше і найменше значення функції двох змінних в замкненій обмеженій області
- •Література
§13 Асимптоти графіка функції
Пряма називається асимптотою графіка функції, якщо точка необмежено наближається до цієї прямої, рухаючись по графіку в нескінченність. Розрізняють вертикальні і невертикальні асимптоти. Якщо в точці функція задовольняє хоча б одну з умов або , то пряму називають вертикальною асимптотою графіка цієї функції.
Якщо функція визначена на інтервалі (або ), і існує така пряма , що (або ), то цю пряму називають правою (лівою) невертикальною асимптотою графіка функції.
Теорема 4.18. Рівняння правої (лівої) невертикальної асимптоти графіка функції має вигляд , де ( для лівої асимптоти), якщо ці границі існують і дорівнюють скінченним числам.
Для більш докладного вивчення диференціального числення функцій однієї змінної рекомендуємо скористатися такими підручниками, задачниками та навчальними посібниками: , , , .
Розділ 5. Функції кількох змінних
§ 1. Поняття функції кількох змінних
Якщо будь-якому набору чисел з деякої множини за певним законом поставлено у відповідність одне дійсне число .то кажуть що задано функцію . Множину називають її областю визначення.
Розглянемо докладніше функцію двох змінних . Її область визначення – деяка множина точок площини . Якщо кожній такій точці за формулою поставлено у відповідність аплікату , то отримана множина точок тривимірного простору є графіком цієї функції двох змінних. Отже графік функції - це поверхня, що задана рівнянням (рис. 5.1).
Лінією рівня функції називається множина точок її області визначення , в яких функція набуває одного й того ж значення. Таким чином, лінії рівня задаються рівняннями .
Приклад. Побудувати сімейство ліній рівня функції .
Розв’язання. Область визначення функції або . Отримали круг з центром в точці радіуса . Лінії рівня задаються рівняннями або . Як бачимо, сімейство ліній рівня – система концентричних кіл з центром у початку координат радіуса (рис. 5.2). Якщо кожне з цих кіл підняти на відповідну висоту над площиною , то вони утворять графік заданої функції – верхню половину сфери ( рис. 5.3).
Аналогічно можна розглянути функцію трьох змінних і ввести поняття поверхонь рівня.
§ 2. Границя і неперервність функції двох змінних.
Околом точки називають будь-який круг, що містить в собі цю точку. Зауважимо, що точки граничного кола не належать околу. Задамо сталу. Множину точок називають - околом точки . Як бачимо - окіл точки - множина внутрішніх точок круга радіуса з центром в точці .
Число назвемо границею функції в точці , якщо для будь-якої сталої ,знайдеться така , що для всіх точок з - околу точки (крім, можливо, самої точки ) виконано нерівність . Пишуть так . Можна довести, що мають місце всі властивості границь, аналогічні до тих, які сформульовані в § 2 розділу 4.
Нехай функція визначена в точці і деякому її околі. Функцію називають неперервною в точці , якщо .
Можна дати означення неперервної функції інакше.
Нехай , - прирости аргументів; - приріст функції в точці . Функцію називають неперервною в точці , якщо .
Очевидно, що ці два означення рівносильні. Можна довести, що всі властивості функцій однієї змінної неперервних в точці також справедливі і для функції двох змінних.
Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо можна знайти такий окіл цієї точки, який повністю складається з точок множини . Точка називається граничною точкою множини , якщо будь-який її окіл, містить як точки множини так і точки, що їй не належать.
Множина називається відкритою областю, якщо вона складається лише з внутрішніх точок і будь-які дві точки множини можна з’єднати лінією, всі точки якої належать . Якщо до відкритої області приєднати всі її граничні точки, то отримаємо множину , яку будемо називати замкненою областю.
Область (відкрита або замкнена) називається обмеженою, якщо існує така стала , що відстань від будь-якої її точки до початку координат менша за .
Функцію називають неперервною в області, якщо вона неперервна в будь-який точці області.
Теорема 5.1. Якщо функція неперервна у замкненій обмеженій області, то вона досягає свого найбільшого значення і найменшого значення .
Теорема 5.2. Якщо функція неперервна у замкненій обмеженій області , і відповідно найбільше та найменше її значення в цій області, то для будь-якого , в області знайдеться точка , в якій виконується рівність .