§ 5. Базис і координати вектора

Якщо система елементів лінійного простору лінійно незалежна і будь-який елемент даного простору можна подати у вигляді лінійної комбінації:

, (2.1)

кажуть, що елементи утворюють базис простору . Кількість векторів, що утворюють базис, називають вимірністю лінійного простору.

Коефіцієнти розвинення (2.1) елемента за базисними елементами називають координатами елемента в даному базисі.

З теорем 2.7, 2.8, 2.9 та зауважень 1 і 2 випливають такі твердження:

1) якщо - множина векторів, що належать одній прямій, то базис такого векторного простору складається з будь-якого одного вектора;

2) базис на площині утворює будь-яка пара не колінеарних векторів;

3) базис у просторі утворює будь-яка трійка не компланарних векторів.

Нехай три вектори і приведено до спільного початку . Повернемо вектор до вектора найкоротшим шляхом. Якщо з кінця вектора цей поворот спостерігається проти годинникової стрілки, то трійку векторів і називають правою, у противному разі – лівою.

Базис називається ортонормованим, якщо базисні вектори є орти і кути між ними прямі.

Розглянемо прямокутну декартову систему координат (рис.2.6). Задамо одиничні вектори , які співпадають за напрямами з додатними напрямами осей відповідно. Як бачимо, вектори утворюють правий ортонормований базис.

Н

ехай числа - координати вектора в базисі , або прямокутні декартові координати вектора . Можна записати

, або .

Геометричний зміст прямокутних декартових координат з’ясовує наступне твердження.

Теорема 2.10. Прямокутні декартові координати вектора співпадають з проекціями цього вектора на осі відповідно.

Позначимо буквами і кути, які утворює вектор з координатними осями відповідно. Косинуси цих кутів називають напрямними косинусами вектора . За теоремами 2.1 та 2.10, маємо

, або

. (2.2)

Таким чином, напрямні косинуси вектора дорівнюють координатам орта цього вектора .

Теорема 2.11. Для будь-яких двох векторів, заданих своїми прямокутними декартовими координатами , , і будь-якого числа виконуються рівності

, .

Доведення безпосередньо випливає з властивостей лінійних операцій з векторами.

Теорема 2.12. Якщо початок вектора співпадає з точкою а кінець – з точкою , то його координати можуть бути знайдені за формулами

.

Теорема 2.13. Необхідною і достатньою умовою колінеарності двох векторів і є пропорційність їх координат

.

§ 6. Скалярний добуток двох векторів

Кутом між двома векторами (позначають ) називають найменший з кутів між цими векторами, приведеними до спільного початку. З цього означення випливає, що .

Скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює добуткові їх довжин та косинуса кута між ними

(2.3)

З цього означення та теореми 2.1, маємо також формулу

(2.4)

Скалярний добуток називають скалярним квадратом вектора і позначають . За формулою (2.3), маємо

. (2.5)