- •Г.В. Соколовська с.Ю. Соколовський вища математика
- •Розділ 1. Елементи лінійної алгебри
- •§1. Матриці. Визначники другого та третього порядків
- •§2. Властивості визначників другого та третього порядків
- •§3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Крамера
- •§4. Метод Гаусса виключення невідомих
- •Розділ 2. Векторна алгебра
- •§ 1. Основні поняття векторної алгебри
- •§ 2. Лінійні операції над векторами
- •Властивості лінійних операцій над векторами
- •§ 3. Проекція вектора на вісь
- •§ 4. Лінійна незалежність
- •§ 5. Базис і координати вектора
- •§ 6. Скалярний добуток двох векторів
- •Властивості скалярного добутку
- •§ 8. Векторний добуток
- •Властивості векторного добутку
- •§ 9. Мішаний добуток
- •Властивості мішаного добутку
- •Розділ 3.Елементи аналітичної геометрії
- •§ 1. Пряма лінія на площині як алгебраїчна лінія першого порядку
- •§2 Кут між двома прямими. Ознаки паралельності і перпендикулярності прямих
- •§3 Відстань від точки до прямої
- •§4Лінії другого порядку
- •§5 Рівняння поверхні і лінії у просторі
- •§6 Різні види рівняння площини у просторі
- •§7 Різні форми рівняння прямої у просторі
- •§8 Кут між двома площинами
- •§9 Кут між двома прямими
- •§10 Кут між прямою та площиною. Умови паралельності і перпендикулярності
- •§11 Відстань від точки до площини
- •Розділ 4.Вступ до математичного аналізу. Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •§1 Функція однієї змінної. Елементарна функція
- •§2 Границя функції
- •§3 Неперервність функції
- •§4 Нескінченно малі і нескінченно великі функції. Порівняння нескінченно малих
- •§5 Деякі важливі границі
- •§6 Розкриття деяких невизначеностей при обчисленні границь
- •§7 Односторонні границі
- •§8 Точки розриву функції
- •Правила обчислення похідних
- •§10 Диференціал функції
- •§11 Основні теореми про диференційовні функції
- •§11 Правило Лопіталя
- •§11 Ознака монотонності функції.
- •§12 Екстремум функції
- •§13 Опуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину
- •§13 Асимптоти графіка функції
- •Розділ 5. Функції кількох змінних
- •§ 1. Поняття функції кількох змінних
- •§ 2. Границя і неперервність функції двох змінних.
- •§ 3. Частинні похідні
- •§ 4. Диференціал функції двох змінних
- •§ 5 Градієнт і похідна в даному напрямі
- •§ 6. Частинні похідні другого порядку.
- •§ 7. Екстремум функції двох змінних
- •§ 8. Умовний екстремум
- •§ 9. Найбільше і найменше значення функції двох змінних в замкненій обмеженій області
- •Література
§ 6. Частинні похідні другого порядку.
Розглянемо функцію двох змінних . Для приклада візьмемо . Знайдемо частинні похідні. Маємо і . Ці частинні похідні (їх називають частинними похідними першого порядку) є функціями від та . Частинні похідні від них називаються частинними похідними другого порядку і визначаються формулами
.
Для вказаної функції отримаємо
.
Частинні похідні другого порядку можна позначати так
.
Теорема 5.7 Якщо функція і її частинні похідні , і неперервні в точці і деякому її околі, то в цій точці .
Частинні похідні третього порядку визначають за формулами:
;
.
§ 7. Екстремум функції двох змінних
Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції , якщо існує такий окіл точки , що для будь-якої точки з цього околу, крім самої точки , виконується нерівність ( для точки мінімуму).
Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму.
Теорема 5.8 (необхідна умова екстремуму).
Якщо функція досягає екстремуму в точці ,то кожна з її частинних похідних першого порядку дорівнює нулю або не існує.
Точки, в яких (або не існує) і (або не існує),називаються критичними точками функції .
Теорема 5.9 (достатня умова екстремуму).
Нехай 1) в деякій області, що містить точку функція має неперервні частинні похідні до третього порядку включно;
2) точка є критичною точкою функції .
Тоді, якщо , то в точці функція має екстремум. При цьому, якщо , то - точка мінімуму, якщо , то - точка максимуму.
Приклад. Дослідити на екстремум функцію .
Розв’язання. Знайдемо частинні похідні. Маємо
.
Прирівняємо і до нуля, тобто складемо систему рівнянь . Розв’язавши її одержимо критичні точки , .
Знайдемо частинні похідні другого порядку. Маємо
. Тоді . , отже - точка екстремуму. Оскільки , то - точка мінімуму і .
не є точкою екстремуму, оскільки .
§ 8. Умовний екстремум
Іноді доводиться розв’язувати задачу знаходження екстремумів функції двох змінних , і ці змінні не є незалежними. Вони пов’язані одна з одною якоюсь додатковою умовою, наприклад, рівнянням
. (5.5)
Якщо рівняння (5.5) розв’язується відносно однієї з змінних, наприклад, відносно : , то підставимо замість в функцію . Вона перетворюється на функцію однієї змінної , яку слід дослідити на екстремум (розділ 4, §12). Якщо ж рівняння (5.5) неможливо розв’язати відносно та відносно , то для розв’язання задачі умовного екстремуму використовують метод множників Лагранжа. З цим методом можна ознайомитись в .
§ 9. Найбільше і найменше значення функції двох змінних в замкненій обмеженій області
Як стверджує теорема 5.1, неперервна в замкненій обмеженій області функція досягає в ній свого найбільшого і найменшого значень. Якщо свого найбільшого або найменшого значення функція досягає у внутрішній точці області , то ця точка обов’язково є критичною. Тому вказану задачу можна розв’язати за такою схемою:
1) знайти критичні точки функції , що належать області і обчислити значення функції в них;
2) розв’язати задачу умовного екстремуму функції на границі області;
3) серед усіх знайдених в пунктах 1 і 2 значень функції обрати найбільше і найменше.
Приклад. Для функції знайти найбільше і найменше значення функції в області , обмеженій лініями , .
Розв’язання. Побудуємо задану область – трикутник .
Знайдемо частинні похідні. Маємо . Прирівняємо і до нуля, тобто . Розв’язавши цю систему, одержимо критичну точку , яка належить області . Знайдемо .
Задамо відрізок границі області умовами: . Досліджувана функція на цьому відрізку перетворюється на функцію однієї змінної , яка є спадною при (адже її похідна від’ємна на цьому проміжку). Отже свого найбільшого значення на даному відрізку вона досягає при , а найменшого – при . Знайдемо їх , . Розглянемо тепер відрізок :. Отримаємо функцію , похідна якої дорівнює нулю при . Оскільки критична точка , то знайдемо , знайдемо також . Зауважимо, що вже знайдено. Для відрізка , який задається умовами отримаємо функцію . Нулем її похідної є точка , що належить відрізку . Ординату відповідної точки відрізка знайдемо з рівності . Маємо . Обчислимо , значення і ми вже знаходили. Таким чином, функція свого найбільшого в заданій області значення досягає в точці . Найменше значення досягається функцією в точці .
Для більш глибокого вивчення функцій кількох змінних рекомендуємо скористатися підручниками та навчальними посібниками , , ,.