- •Г.В. Соколовська с.Ю. Соколовський вища математика
- •Розділ 1. Елементи лінійної алгебри
- •§1. Матриці. Визначники другого та третього порядків
- •§2. Властивості визначників другого та третього порядків
- •§3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Крамера
- •§4. Метод Гаусса виключення невідомих
- •Розділ 2. Векторна алгебра
- •§ 1. Основні поняття векторної алгебри
- •§ 2. Лінійні операції над векторами
- •Властивості лінійних операцій над векторами
- •§ 3. Проекція вектора на вісь
- •§ 4. Лінійна незалежність
- •§ 5. Базис і координати вектора
- •§ 6. Скалярний добуток двох векторів
- •Властивості скалярного добутку
- •§ 8. Векторний добуток
- •Властивості векторного добутку
- •§ 9. Мішаний добуток
- •Властивості мішаного добутку
- •Розділ 3.Елементи аналітичної геометрії
- •§ 1. Пряма лінія на площині як алгебраїчна лінія першого порядку
- •§2 Кут між двома прямими. Ознаки паралельності і перпендикулярності прямих
- •§3 Відстань від точки до прямої
- •§4Лінії другого порядку
- •§5 Рівняння поверхні і лінії у просторі
- •§6 Різні види рівняння площини у просторі
- •§7 Різні форми рівняння прямої у просторі
- •§8 Кут між двома площинами
- •§9 Кут між двома прямими
- •§10 Кут між прямою та площиною. Умови паралельності і перпендикулярності
- •§11 Відстань від точки до площини
- •Розділ 4.Вступ до математичного аналізу. Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •§1 Функція однієї змінної. Елементарна функція
- •§2 Границя функції
- •§3 Неперервність функції
- •§4 Нескінченно малі і нескінченно великі функції. Порівняння нескінченно малих
- •§5 Деякі важливі границі
- •§6 Розкриття деяких невизначеностей при обчисленні границь
- •§7 Односторонні границі
- •§8 Точки розриву функції
- •Правила обчислення похідних
- •§10 Диференціал функції
- •§11 Основні теореми про диференційовні функції
- •§11 Правило Лопіталя
- •§11 Ознака монотонності функції.
- •§12 Екстремум функції
- •§13 Опуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину
- •§13 Асимптоти графіка функції
- •Розділ 5. Функції кількох змінних
- •§ 1. Поняття функції кількох змінних
- •§ 2. Границя і неперервність функції двох змінних.
- •§ 3. Частинні похідні
- •§ 4. Диференціал функції двох змінних
- •§ 5 Градієнт і похідна в даному напрямі
- •§ 6. Частинні похідні другого порядку.
- •§ 7. Екстремум функції двох змінних
- •§ 8. Умовний екстремум
- •§ 9. Найбільше і найменше значення функції двох змінних в замкненій обмеженій області
- •Література
§ 3. Частинні похідні
Нехай функція визначена в точці і деякому її околі. Надамо приросту лише аргументу , так щоб точка належала вказаному околу. Частинний приріст функції по змінній визначимо формулою: .
Частинною похідною функції назвемо , якщо ця границя існує . Позначають її або .
Аналогічно визначається похідна , а також частинні похідні функції трьох , , і більшої кількості змінних. Оскільки частинна похідна по даній змінній визначається за умови, що значення інших змінних зафіксовані, то для її обчислення використовуються такі ж формули і правила, як і для обчислення похідної функції однієї змінної.
Приклади. Знайти частинні похідні.
1. .
Розв’язання.
.
2. .
Розв’язання.
;
.
§ 4. Диференціал функції двох змінних
Функція називається диференційовною в точці . Якщо її повний приріст у цій точці може бути представлений у вигляді
,
де при .
Теорема 5.3. Якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці.
Теорема 5.4. Якщо функція диференційовна в точці , то вона має в цій точці частинні похідні по всім аргументам.
Доведення. Дійсно, .
Аналогічно доводиться, що . Теорему доведено.
Обернене твердження не справджується. Функція може мати частинні похідні в точці , але не бути диференційовною в цій точці.
Теорема 5.5 (достатня умова диференційовності функції). Якщо функція має в точці частинні похідні по всім аргументам і вони неперервні в цій точці, то функція диференційовна в точці .
В теоремі 5.4 доведено, що повний приріст диференційовної функції має вигляд
(5.1)
Диференціалом функції називають головну, лінійну відносно приростів аргументів частину її приросту. Пишуть
. (5.2)
Як бачимо, при малих і , або
. (5.3)
Формулу (5.3) можна використовувати для наближених обчислень по аналогії з тим, як це зроблено для функції однієї змінної (розділ 4, §10).
§ 5 Градієнт і похідна в даному напрямі
Розглянемо функцію трьох змінних , що має частинні похідні у будь-якій точці деякої області . В кожній точці визначимо вектор, координати якого дорівнюють значенням частинних похідних у цій точці. Цей вектор називається градієнтом функції в точці . Пишуть .
Нехай задано вектор . Обчислимо його напрямні косинуси. Маємо . Надамо аргументам функції в точці приростів так, щоб зміститись з точки в точку в напрямі вектора . Знайдемо відповідний приріст функції і довжину вектора . Позначимо через . Границя відношення при називається похідною функції в точці в напрямі вектора . Пишуть .
Теорема 5.6 Похідну функції в точці в напрямі вектора можна обчислити за формулою
, (5.4)
де - напрямні косинуси вектора .
Зауважимо, що з формули (5.4), а також формул (2.2) і (2.4) (розділ 2) випливає твердження: похідна функції в точці в напрямі вектора дорівнює проекції вектора на напрям вектора . Тобто . Як бачимо, набуває найбільшого значення в тому випадку, коли вектор співпадає за напрямом з . Це означає, що швидкість зростання функції в напрямі її градієнта є максимальною і дорівнює модулю градієнта.