Диаграммы Эйлера-Венна. Универсальное множество.
Круги́ Э́йлера— геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.
Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все мыслимые объекты. Универсальное множество единственно.
Универсальное множество обычно обозначается U (от англ. universe, universal set), реже E.
Свойства универсального множества
Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.
В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.
Любое множество является подмножеством универсального множества.
В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.
Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.
В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.
В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.
В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.
Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.
Дополнение универсального множества есть пустое множество.
Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.
В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.
Перестановки. Бинарные отношения.
В комбинаторике перестано́вка — это упорядоченный набор чисел обычно трактуемый как биекция на множестве , которая числу i ставит соответствие i-й элемент из набора. Число n при этом называется порядком перестановки.
Число всех перестановок порядка n равно числу размещений из n по n, т.е. факториалу:
В математике бинарным отношением называется подмножество декартова произведения двух множеств. В частности, бинарным отношением на множестве называется множество упорядоченных пар элементов этого множества.
Бинарные отношения могут обладать различными свойствами, такими как
Рефлексивность:
.
Антирефлексивность
(иррефлексивность):
.
Симметричность:
.
Антисимметричность:
.
Транзитивность:
.
Связность:
.
Асимметричность:
.
Асимметричность эквивалентна одновременной
антирефлексивности и антисимметричности
отношения.
Виды отношений
Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка.
Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности.
Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка.
Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка.
Полное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением линейного порядка.
Антирефлексивное асимметричное отношение называется отношением доминирования.