2. Методы численного интегрирования
Дано уравнение
. (2.1)
Т ребуется найти решение дифференциального уравнения на отрезке , при начальном значении для случая, когда f(x,y) – аналитическая функция.
Разобьем интервал на n участков длиной h. Тогда
. (2.2)
Если на интервале [0,h] с достаточной точностью можно считать, что , то интеграл можно заменить выражением . Тогда .
Погрешность округления имеет порядок O(h2). Отбрасывая O(h2) получаем формулу Эйлера
(2.3)
y
х
Рис.2.1 График
Для получения более точной расчетной формулы нужно точнее аппроксимировать интеграл. Воспользуемся формулой трапеции:
Соответствующая этому уравнению расчетная формула имеет вид
Обычно это уравнение неразрешимо явно относительно , поэтому целесообразно заменить прогнозируемой величиной полученной по формуле Эйлера. Тогда
Решение уравнения (2.2) методом Рунге-Кутта ищется в виде
где
Коэффициенты определяются из условия равенства нулю ошибки аппроксимации и q ее производных в начале каждого интервала i.
Ошибка аппроксимации Условия определения коэффициентов запишутся в виде
(0) = (0) = (0) = … =s = 0
Для случая q = 4 и s = 4
,
В этом случае исходная функция f аппроксимируется полиномом третьей степени, что для гладких функций обеспечивает значительно более высокую степень приближения, чем метод Эйлера.
3. Методы интерполирования
Постановка задачи. Если из каких-либо соображений известно, что приближающую функцию g(.) целесообразно искать в виде
где коэффициенты, определяемые из условия совпадения f(x) c g(x) в n точках , то такой способ называется интерполяцией.
Ниже приводятся методы линейной интерполяции полиномом n-й степени
3.1. Интерполяция многочленом Лагранжа
Многочлен Лагранжа имеет вид
,
Для лучшего понимания этой формулы рассмотрим свойство члена: