2 Установление логического значения сложных суждений при помощи таблиц истинности.

Отношение истинности суждений отображается в таблицах. Эти таблицы отражают все возможные случаи истинности и ложности суждений, причем каждое из простых суждений, входящее в состав сложного, отражается в «шапке» таблицы в виде буквы (например, p, q). Истинность или ложность отражается в виде букв «И» или «Л» (истина и ложь соответственно).

2.1 Истинность соединительных суждений.

Соединительное суждение истинно при истинности всех составляющих его конъюнктов и ложно при ложности хотя бы одного из них. Условия истинности суждения р ^ q показаны в таблице (рис. 1), где истинность обозначена И, а ложность — Л. В первых двух столбцах таблицы р и q берутся как независимые и принимают поэтому все возможные сочетания значений И и Л: ИИ, ИЛ, ЛИ, ЛЛ. В третьем столбце показано значение суждение р ^ q. Из четырех построчных вариантов истинным оно является лишь в 1-й строке, когда истинны оба конъюнкта: и р, и q. Во всех остальных случаях оно ложно: во 2-йи 3-й строках в силу ложности одного из членов, а в 4-й в силу ложности обоих членов.

p	q	p^q
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	л

Рисунок 1

2.2 Истинность разделительных суждений

Дизъюнкцию различают стогую и нестрогую. Отличие между этими двумя видами дизъюнкции состоит в том, что при нестрогом виде члены ее не исключают друг друга. Примером нестрогой дизъюнкции может быть: «Для получения заготовки деталь можно довести на станке (p) или предварительно обработать напильником (q)». Очевидно, что здесь p не исключает q и наоборот.

Условия истинности нестрогой дизъюнкции представлены в таб­лице (рис. 2). Суждение р v q будет истинно при истинности хотя бы одного члена дизъюнкции (1, 2, 3-я строки — ИИ, ИЛ, ЛИ). Дизъюнкция будет ложной при лож­ности обоих ее членов (4-я строка— ЛЛ)

p	q	p v q
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

Рисунок 2

Строгая дизъюнкция характерна тем, что ее члены исключают друг друга (в отличие от нестрогой дизъюнкции). Суждение «Сегодня я сделаю уроки (p) или пойду гулять на улицу (q)» является примером строгой дизъюнкции. Действительно, можно совершить в данный момент только одно действие — сделать домашнюю работу либо идти гулять, оставив уроки на потом. Поэтому строгая дизъюнкция истинна, только когда истинно лишь одно из простых суждений, входящих в нее. Это единственный случай истинности строгой дизъюнкции. Таблица истинности для строгой дизъюнкции показана на рисунке 3.

p	q	p ¥ q
и	и	л
и	л	и
л	и	и
л	л	л

Рисунок 3

2.3 Истинность условных суждений

Условия истинности импликативного суждения показаны в таб­лице (рис. 4). Импликация истинна во всех случаях, кроме одного: при истинности антецедента и ложности консеквента (2-я строка) импликация всегда будет ложной. Сочетание истинного антецедента, например «Предохранитель плавится», и ложного консеквента — «Электролампа не гаснет» — является показателем ложности импликации.

Истинность импликации объясняется следующим образом. В 1-й строке истинность р имплицирует истинность q, или другими словами: истинность антецедента достаточна для признания истинности консеквента., И действительно, если предохранитель плавится, то электролампа обязательно гаснет в силу их последовательного включения в электрическую цепь.

В 3-й строке при ложном антецеденте — «Предохранитель не плавится» консеквент является истинным — «Электролампа гаснет». Ситуация вполне допустимая, ибо предохранитель может не плавиться, а электролампа может погаснуть в силу других причин — отсутствия тока в цепи, перегорания нити в лампе, замыкания электропроводки и т.д. Таким образом, истинность q при ложности р не опровергает идею о наличии условной зависимости между ними, поскольку при истинности р всегда будет истинным и q.

В 4-й строке при ложном антецеденте — «Предохранитель не плавится» ложным является и консеквент — «Электролампа не гаснет». Такая ситуация возможна, но она не ставит под сомнение факт условной зависимости р и q, ибо при истинности р всегда будет истинным q.

p	q	p —› q
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

Рисунок 4

2.4 Истинность эквивалентных суждений

Условия истинности эквивалентного суждения представлены в таблице (рис.5). Суждение р = q истинно в тех случаях, когда оба суждения принимают одинаковые значения, являясь одновременно либо истинными (1-я строка), либо ложными (4-я строка). Это значит, что истинность р достаточна для признания истинным q, и наоборот. Отношение между ними характери­зуется и как необходимое: ложность р служит показателем ложности q, а ложность q указывает на ложность р.

p	q	p = q
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	и

Рисунок 5

В заключение приведем сводную таблицу условий истинности сложных суждений (рис.6).

p	q	p^q	p v q	p ¥q	p —› q	p = q
и	и	и	и	л	и	и
и	л	л	и	и	и	л
л	и	л	и	и	л	л
л	л	л	л	л	и	и

Рисунок 6

3 Практические упражнения

3.1 Установите вид следующих сложных суждений о определите их истинность при помощи таблиц истинности: