2. Непосредственное умозаключение по логическому квадрату, умозаключение обращения, превращения и противопоставления.

Особо выделяют логические отношения между категорическими суждениями, в традиционной логике при анализе отношений между суждениями имели в виду в основном категорические суждения, т.е. суждения следующих видов:

Все S суть P (тип А).

Ни одно S не суть Р (тип Е).

Некоторые S суть Р (тип J).

Некоторые S не суть Р (тип О) с одинаковой материей, т.е. с одними и теми же субъектами. Эти отношения изображают посредством «логического квадрата»:

A E

J O

По верхней горизонтали суждения типа А и Е противоположны, то есть несовместимы по истинности: они не могут быть одновременно истинными (но могут быть одновременно ложными). По нижней горизонтали суждения типа J и O находятся в отношении «прекращения» (обычное название субконтрарность). Они не совместимы по ложности, т.е. не могут быть одновременно ложными (но могут быть одновременно истинными).

По обеим вершинам – отношение логического подчинения: суждение типа А подчиняет J, a J подчинено А; аналогично для суждений типа Е и О соответственно. Для этого отношения характерно два свойства: 1. Если истинно общее суждение, то именно подчиненное ему частное; 2. Если ложно частное суждение, то ложно и соответствующее ему общее.

Отношение между суждениями, находящимися в концах диагоналей, - между А и О, Е и J – отношение контрадиктороной противоположности (противоречия). Это отношение как такое, в котором эти суждения не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными.

Категорические суждения являются специфическими формами высказываний (суждений) в естественных языках. Поэтому и специфичны формы выводов из них. Такие выводы, в которых и посылки, и заключения представляют собой категорические суждения. Выводы этого рода делятся на два вида. В одном случае заключение выводится только из одной посылки – они называются непосредственными. Среди непосредственных выделяются умозаключения, основу которых составляют свойства отношений между категорическими суждениями (выводы по логическому квадрату) и выводы посредством преобразования категорических суждений (обращение, превращение и т.д.).

Другой вид составляют выводы из двух или большего числа категорических суждений. Это так называемые опосредованные умозаключения. При этом особо выделяются формы умозаключений с двумя посылками. Их называют простыми категорическими иллогизмами, при наличии более чем двух посылок иллогизм называется сложным.

При анализе категорических суждений обращено внимание на специфику суждений с пустыми субъектами. Эти суждения не имеют реального содержания и поэтому не существует объективно-определенных условий истинности этих суждений. В зависимости от соглашений имеются различные теории того, какие суждения с пустыми субъектами считать истинными и какие ложными. Этими различиями обусловлено и то, что есть некоторые формы выводов, которые считаются правомерными.

В традиционной логике исключаются суждения не только с пустыми субъектами, но и с пустыми предикатами и подразумеваются соответственно этому условия относительно всех терминов в суждениях: они не должны быть пустыми, а также и универсальными, без выполнения этих условий некоторые из описываемых в этой теории форм выводов оказываются неправомерными. Желая иметь дело с теми суждениями, которые имеют реальное содержание, достаточно требование лишь не пустоты субъектов и при том лишь, как сказано, в общих суждениях. Стоит придерживаться этой позиции, как наиболее естественной и связанной с минимальными ограничениями допустимых правила вывода. Она естественна, поскольку имеются в виду суждения с реальными содержаниями, и наиболее проста, поскольку обуславливает необходимость различия пустых и непустых терминов и касается это лишь субъектов общих суждений.

Умозаключение – умственное действие и т.д.

Умозаключение – умственное действие на основе присущих индивидуальному сознанию норм выводов, во многом совпадающих с правилами и законами логики. Умозаключением вообще называют один из приемов познания – выведение из имеющихся высказываний нового высказывания, то есть некоторый логический прием получения нового знания на основе имеющегося. Наряду с дедуктивными выводами (умозаключениями) существуют индуктивные.

Специфика дедуктивных выводов состоит в том, что они обеспечивают истинность выводимого высказывания – заключения – при истинности исходных суждений – посылок вывода (умозаключения). Свойство дедуктивных выводов обусловлено наличием определенной связи между их посылками и заключением. Их связь воспроизводит отношения логического следования между соответствующими высказываниями. Основой метода построения теории дедукции с применением метода логических исчислений является наличие взаимосвязей между самими законами и правилами вывода, в силу которых одни законы и правила можно обосновывать с помощью других.

Исчисление (логическое) – это теория, которая строится на базе некоторого формализованного языка, например, исчисление высказываний на базе описанного языка логики высказываний. При построении исчисления в качестве исходных выделяется минимальное множество формул-законов логики – правил вывода или только правил (в натуральных системах). Во-вторых, определяются понятия вывода и доказательства. Понятие вывода, какой-либо формулы из множества формул – и понятие доказательства формулы являются основными в логическом исчислении. Всякая доказуемая формула представляла собой закон логики, формулируемый в данном языке, и чтобы была возможность осуществлять доказательства любой формулы представляющий собой закон логики.

Умозаключение, обращения – это умозаключение, при котором из данного суждения, не являющегося частноотрицательным, выводится такое, субъектом которого является предикат исходного, а предикатом – субъект исходного. При этом в случае когда исходное суждение – посылка – является общеутвердительным, меняется также само суждение, а именно заключение представляет собой частное суждение. Этот случай общения называется «обращением с ограничением», а в других случаях – «чистым ограничением».

Имеем три основных формы обращения:

1. Обращение общеутвердительного суждения

Все S суть Р

Некоторые Р суть S

Всякий студент обязан сдавать какие-нибудь экзамены. Следовательно, некоторые люди обязаны сдавать какие-нибудь экзамены, суть студенты.

2. Для общеотрицательного суждения

Ни одно S не есть Р

Ни одно Р не есть S

Но при условии непустоты Р, то есть при условии, что полученное суждение является осмысленным – имеет реальное содержание.

Ни одна из рыб не является теплокровным животным, следовательно, ни одно теплокровное животное не есть рыба.

Из суждения: «Ни один человек не может жить без пищи» неправомерно выводить «Ни одно существо, которое может жить без пищи, не есть человек», поскольку таких существ вообще не существует.

3. Суждение частноутвердительное обращается

Некоторые S суть Р

Некоторые Р суть S

Некоторые простые числа являются четными, следовательно, некоторые четные числа суть простые числа. Говорим о некоторых простых числах, являющихся четными, как только одно число (а именно число 2). Такое словоупотребление логически правомерно, поскольку некоторые означают «одно», а может быть и все. Частное суждение, некоторые S не суть Р, по существу просто указывают на существование среди предметов общего рода для S и Р таких предметов, которые одновременно обладают свойствами S и Р или таких, которые обладая свойствами S не имеют свойства Р. Из частноотрицательного суждения путем обращения нельзя логически правильно вывести какое-либо заключение. Если учесть общее правило обращения, как и выводов из категорических суждений вообще: термин не распределенный в посылках, не должен быть распределен в заключении.

Если обратить честноотрицательное суждение, то, что термин S, не распределенный (как субъект частного суждения) в посылке, оказался бы распределенным (как предикат отрицательного суждения) в заключении. В силу этого правила обращение общеутвержденного суждения осуществляется с ограничением. Иначе термин Р, не распределенный в посылке, оказался бы распределенным в заключении. Нарушение указанного правила означало бы, что в заключении получается дополнительная или более широкая информация по сравнению с той, которая содержится в посылках. Приращение же информации в правильных дедуктивных выводах невозможно. Это часто трактуют неправильно в виде тезиса: «Дедуктивное умозаключение не дает нового знания по сравнению с посылками». При этом не различают знания и информацию. Информация, неявно содержащаяся в посылках, не есть знание. Она становится знанием, когда извлекается из посылок и фиксируется в форме высказывания. Это и заключается в дедуктивных умозаключениях. Правильные дедуктивные умозаключения представляют способы правильного извлечения информации совокупности высказываний. И они, вопреки приведенному ошибочному тезису, являются важным средством приращения знания в процессе познания. Информация сама по себе может быть истинной и ложной, поэтому заключение даже правильно дедуктивного умозаключения может быть ложным. Это возможно, но не обязательно, когда одна из посылок дедуктивного вывода ложна. Знание же по своему понятию есть та же информация, которая выражается истинным высказыванием.

Слабое превращение и слабое обращение дает более слабое заключение. Слабые превращения и обращения представляют собой сложные выводы. Заключение каждого из них получается в два шага.

1. Обычное (сильное) обращение или превращение.

2. Вывод из полученного суждения более слабого – частного – заключения по правилу логического квадрата – от подчиняющего суждения к подчиненному (вертикали логического квадрата). Возможны сложные выводы и по правилам преобразования логических суждений. Среди них особо выделяют противопоставление субъекту.

Логика предикатов формируется аналогично тому, как это происходит относительно логики высказываний. При наличии определений логических констант – как логики высказываний, так и логики предикатов – последняя определяется введением понятий логического следования для формул ЯЛП и закона логики предикатов. Первый вывод является последовательным применением превращения исходного суждения и далее обращения полученного при это суждения.

Второй вывод представляет собой последовательное применение тех же операций, но в обратном порядке: сначала осуществляется обращение исходного суждения, а затем превращение полученного результата. Так противопоставление предикату суждения вида «все S суть Р» представляет собой вывод:

1. «Все S и суть Р» - посылка;

2. «Ни одно S не суть не Р» по правилу превращения из 1;

3. «Ни одно не Р не есть S» - по правилу превращения из 2.

Противопоставление субъекту суждения того же вида будет выглядеть так:

1. «Все S суть Р» - посылка;

2. «Некоторые Р суть S» - по правилу обращения из 1;

3. «Некоторые Р не суть не S» - по правилу превращения из 2.

Для любого сложного вывода сформируем результирующее правило вывода заключения из соответствующих посылок. Таковыми будут следующие правила:

Противопоставление предикату

Все S суть Р

Ни одно не Р не есть S

Ни одно S не есть Р

Некоторые не Р суть S

Некоторые S не суть Р

Некоторые не Р суть S

Противопоставление субъекту

Все S суть Р

Некоторые не Р суть не S

Ни одно S не суть Р

Все Р суть не S

Некоторые S суть Р

Некоторые Р не суть не S

Из суждения «Все лгуны – малодушные люди» по правилу противопоставления предикату получаем: «Ни один немалодушный человек не является лгуном». Заключение данного умозаключения является ложным. Немалодушный человек может лгать ради каких-то своих особых целей. Само умозаключение логически правильно, то ложность егозаключения указывает на ложность посылки. А между тем сама по себе она не производит впечатление ложной (хотя и является такой). Здесь имеем возможность отметить еще одну функцию правильных дедуктивных умозаключений. Наряду с тем, что эти формы умозаключений являются средством получения нового знания, они в ряде случаев могут служить так же способом проверки истинности высказываний. По правилу противопоставления субъекту из высказывания «Ни один любящий себя человек не желает себе зла» получаем «Всякий человек, желающий себе зла, есть человек, не любящий себя».