ПОИТ Контрольная работа по высшей математике.№1
.docxУЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет непрерывного и дистанционного обучения
Специальность: программное обеспечение информационных технологий
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ №1
-
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
1—10. Даны четыре вектора (а1, а2, а3), (b1, b2, b3),
(c1, c2, c3) и (d1, d2, d3) в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
(2,1,0), (4,3,-3), (-6,5,7), (34,5,-26).
Базисом в пространстве являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов является равенство их смешанного произведения нулю. Итак, находим
Значит, векторы некомпланарны и образуют базис. Составим систему уравнений (1.1) в координатном виде для нахождения координат вектора в этом базисе
Решим систему методом Крамера, для чего найдем . Определитель найден выше и = 62.
Имеем ; ; .
Следовательно .
11—20. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объём пирамиды; 6) уравнения прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертёж.
А1(6,6,2), А2(5,4,7), А3(2,4,7), А4(7,3,0).
Находим координаты вектора
Длина ребра определяется как длина вектора
-
Угол между ребрами и вычисляется по формуле
.
, ;
.
Тогда ,
3. Угол между ребром и плоскостью - это угол между вектором и его ортогональной проекцией на грань .
Из определения векторного произведения векторов следует, что вектор перпендикулярен грани :
А1(6,6,2), А2(5,4,7), А3(2,4,7), А4(7,3,0).
.
Как и в предыдущем пункте, находим
,
.
4. Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения
.
5. Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , (формула 1.4).
.
6. Составим уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки .
.
7. Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой (1.6), где - координаты , - координаты , - координаты .
8. Искомые уравнения высоты получим из канонических уравнений прямой , где - точка, лежащая на искомой прямой: - координаты вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. . Имеем .
А1(6,6,2), А2(5,4,7), А3(2,4,7), .
9. Сделаем чертеж
30.Дано уравнение одной из сторон квадрата AB: x+3y-7=0 и точка пересечения его диагоналей P(0,-1). Найти уравнения трёх остальных сторон этого квадрата.
1) Найдем уравнение прямой, перпендикулярной прямой AB и проходящей через точку Р. Вектор нормали к прямой AB является направляющим для искомой прямой и имеет координаты . Следовательно каноническое уравнение прямой EF имеет вид:
2) Найдем точку E пересечения найденной прямой с прямой AB.
Координаты точки . Тогда координаты точки F исходя из того, что точка Р – середина отрезка EF: . Зная точку F найдем уравнение прямой CD, зная, что вектор нормали у прямых AB и CD совпадают по направлению.
Найдем уравнение прямой, проходящей через точку Р и параллельную прямой АВ:
Зная, что точки H1 и H2 лежат на этой прямой получим систему для нахождения координат точек, :
Получили две точки: . Эти точки принадлежат двум противоположным сторонам квадрата, параллельным прямой EF. Тогда уравнения этих сторон будут иметь вид:
0
Получили уравнения сторон:
31—40. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств.
40.
при х=0 y=-6, а при y=2 x=2.
при x=-3 y=23, а при x=5 y=14
x=2 => y=2, x=13 => y=5
Решением системы является пересечение решений всех трех неравенств, т.е. треугольник АВС, включая его стороны.
Определим координаты точек треугольника:
50.Составить уравнение линии, каждая точка которой является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, проходящую через точку A(2,0).
Обозначим произвольную точку искомой линии . Тогда координаты вектора нормали к прямой проходящей через точку А .
Извините, но дальше не понимаю как решать!!!