Основы линейной алгебры Вариант 7
.docxКонтрольная работа № 2. Основы линейной алгебры
Вариант 7
Задача 1.
Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить её тремя методами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления (с помощью обратной матрицы).
Решение
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Необходимым и достаточным условием совместности системы линейных уравнений является
Критерий Кронекера–Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы. Если же эти ранги не равны, то система несовместна.
Составим расширенную матрицу системы для определения её ранга и ранга матрицы коэффициентов:
Находим ранг r расширенной матрицы:
Отсюда Т.о. в системе трех уравнений три зависимые переменные.
-
Составим матрицу коэффициентов (основную матрицу системы) и найдем её определитель:
Так как определитель отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Вычисляем определители
которые составляем из матрицы коэффициентов путем поочередной замены каждого из столбцов на столбец правой части системы.
Далее по формулам Крамера вычисляем:
Таким образом, система имеет единственное решение
-
При решении системы линейных уравнений методом Гаусса действия производятся над расширенной матрицей. Эти действия были произведены при доказательстве совместности.
Т.о. система сводится к эквивалентной системе линейных уравнений
Откуда получим
-
Определитель основной матрицы системы , значит, система совместна и для матрицы коэффициентов существует обратная матрица. Находим решение по формуле или
,
где, алгебраические дополнения элементов матрицы А:
Таким образом, обратная матрица к основной матрице системы имеет вид
Значит, матричное решение системы имеет вид
Отсюда следует, что
Задача 2.
Найти общее решение системы линейных уравнений.
Решение
Проверим на совместность. Воспользуемся критерием Кронекера-Капелли(см. задачу 1) .
Отсюда получим, что в системе трех уравнений 2 зависимых переменных и 2 независимая. . Перенося слагаемые с x3, х4 в правую часть (базисный минор образован коэффициентами при х1, х2), по последней матрице записываем систему
Итак, общее решение неоднородной системы линейных уравнений
Задача 3.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
Решение
Составляем характеристическое уравнение матрицы А и находим его корни:
Так как все корни оказались действительными числами, то они являются собственными значениями матрицы А.
При система имеет вид:
Значит, собственному значению соответствует собственный вектор
Здесь х3 – произвольное действительное число, не равное нулю. Положив его, в частности, равным единице, получим собственный вектор в виде
Аналогично при система имеет вид:
Значит, собственному значению соответствует собственный вектор
Здесь х3 – произвольное действительное число, не равное нулю. Положив его, в частности, равным 3, получим собственный вектор в виде
Аналогично при система имеет вид:
Значит, собственному значению соответствует собственный вектор
Здесь х3 – произвольное действительное число, не равное нулю. Положив его, в частности, равным 1, получим собственный вектор в виде
Задача 4.
Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка и построить её в декартовой системе координат.
.
Решение
В уравнении заданной кривой присутствует квадратичная форма следующего вида: . Составим матрицу данной квадратичной формы и найдём её собственные значения:
Корнями характеристического уравнения являются числа и . Им соответствуют собственные векторы и .
Нормируя собственные векторы, получим
и .
Матрица перехода Т к новому базису имеет вид
.
В соответствии с соотношением вводим замену переменных
Подставим эти выражения в исходное уравнение кривой:
После преобразования выражения получим
Или
Введя замену получим уравнение эллипса.
в системе координат . График полученного эллипса приведен на следующем рисунке.