Основы векторной алгебры и аналитической геометрии
.docxКонтрольная работа № 1. Основы векторной алгебры и аналитической геометрии
Вариант 7
Задача 1.
Даны четыре вектора , и, заданные в прямоугольной декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение
-
+10
-
Чтобы показать, что векторы образуют базис необходимо показать, что
Для этого решим систему:
Покажем, что данная система имеет только тривиальное решение. Найдем определитель основной матрицы системы:
.
Найдем теперь координаты вектора в базисе . Для этого решим систему:
Воспользуемся методом Гаусса:
Из последнего нетрудно видеть, что . Значит, координаты вектора в базисе
Задача 2.
Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) уравнение прямой ; 3) угол между рёбрами и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) площадь грани ; 8) объём пирамиды; 9) сделать чертёж.
; ; ; .
Решение
-
Длина ребра численно равна расстоянию между точками и , которое в прямоугольной декартовой системе координат вычисляется по формуле
,
где координаты точки, координаты точки.
-
Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки . Тогда уравнение прямой имеет вид
-
Угол между ребрами и вычисляется по формуле , где – скалярное произведения векторов и .
-
Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой
где координаты точки, координаты точки , координаты точки .
Уравнение плоскости
-
Угол между ребром и плоскостью определяется по формуле
,
где – направляющий вектор прямой , то есть , а – нормальный вектор плоскости .
Из пункта 3 Из пункта 4
Тогда
-
Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой , где точка, лежащая на искомой прямой; координаты направляющего вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , из которой по условию задачи должна быть опущена высота на плоскость , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е Имеем
-
Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения:
.
Находим векторное произведение векторов и :
Т.о.
-
Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , , которое находится по формуле .
Задача 3.
Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .
Решение
Составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно прямой L, т.е. нормальный вектор Р есть
Теперь найдем центр симметрии – точку пересечения прямой L и плоскости Р. Для этого запишем уравнение прямой L в параметрическом виде:
Подставим эти уравнения в общее уравнение плоскости Р и получим:
Подставив полученное значение параметра в параметрические уравнения прямой L, получим координаты точки – точки пересечения прямой L с плоскостью Р. Но так как N – середина отрезка , то
Таким образом, точка М имеет координаты
Задача 4.
Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки вдвое меньше расстояния до прямой . Привести полученное уравнение к каноническому виду и указать тип линии, описываемой этим уравнением.
Решение
Обозначим произвольную точку искомой линии как . Найдем расстояния от точки до прямой и до точки :
По условию Отсюда имеем:
Это каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат и полуосями