математика кр3ариант 8
.docучреждения образования
белорусский государственный университет
информатики и радиоэлектроники
факультет заочного и дистанционного обучения
программное обеспечение информационных технологий
контрольная работа №3
по высшей математике
вариант №8
1. Выделив в заданной функции полный квадрат, получить уравнение параболы и построить её график.
Решение:
;
В
результате выделения полного квадрата
в исходной функции получили уравнение
параболы вида:
.
Для данной функции построим график (смотри рисунок 1.1):
Таблица
1– Значения x
и y
для функции
-
x
2
1
3
0
4
1,5
2,5
y
-1
-4
-4
-13
-13
-1,75
-1,75
Рисунок 1.1 – График
функции
2. Задана функция
на отрезке
.
Требуется: 1) построить
график функции в полярной системе
координат по точкам, давая аргументу
значения через промежуток
;
2) найти каноническое
уравнение полученной линии в прямоугольной
декартовой системе координат, начало
которой совпадает с полюсом, а положительная
полуось абсцисс – с полярной осью, и по
уравнению определить тип линии.
Решение
Т.к
полярный радиус неотрицателен, т.е.
то
,
,
откуда заключаем, что
Составим вспомогательную таблицу
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
0,92 |
0,71 |
0,38 |
0 |
-0,38 |
-0,71 |
-0,92 |
-1 |
-0,92 |
-0,71 |
-0,38 |
0 |
0,38 |
0,71 |
0,92 |
1 |
|
|
1 |
1,03 |
1,11 |
1,26 |
1,5 |
1,85 |
2,32 |
2,79 |
3 |
2,79 |
2,32 |
1,85 |
1,5 |
1,26 |
1,11 |
1,03 |
1 |
Для
построения кривой на луче, проведенном
из полюса под углом
,
откладываем
соответствующее значение полярного
радиуса
и
соединяем полученные точки.
Найдем
уравнение кривой
в прямоугольной системе координат.
Для
этого заменим
и
их выражением через
и
по формулам,
,
=
Итак получаем:
Получаем уравнение эллипса.
3. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
1) 
; 2) 
;
3) 
.
1) Решение:
=
;
Имеем неопределенность вида
.
Разделим числитель и знаменатель дроби
на наибольшую степень, то есть на
:
=
=
=
=
=
;
2) Решение:
=
;
Имеем
неопределенность вида
.
Умножим числитель и знаменатель дроби
на выражение, сопряженное числителю,
то есть на
и найдем корни уравнения
:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
;
3) Решение:
=
;
Имеем
неопределенность вида
.
Преобразуем предел к виду второго
замечательного предела, то есть
:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
Ответ:
1) 3, 2) -7, 3)
4. Найти указанные пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.
1) 
; 2) 
.
1) Решение:
=
;
Имеем
неопределенность вида
.
Преобразуем предел к виду первого
замечательного предела, то есть
:
=
=
=
=
=
=
=
.
2) Решение:
={
при
~
,
~
.
В нашем случае при
,
}=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Ответ:
1)
,
2)
5. Задана функция
различными аналитическими выражениями
для различных интервалов изменения
аргумента. Найти точки разрыва функции,
если они существуют, и установить их
тип. Сделать чертёж.
Поскольку
в точке
функция не определена, то
-
точка разрыва функции. Исследуем характер
разрыва. Найдем односторонние пределы
функции в точке
.
Т.к.
оба предела равны
,
то
-
точка второго рода
Разрыв
возможен так же в точках
и
,
в которых меняется аналитическое задание
функции.
Найдем
односторонние пределы функции в точке
.
Т.к.
(
)=
(
)=
(0)=1,
то в точке
функция является непрерывной.
Рассмотрим
точку
.
(
)=
(
)=
=
(1)=
=
Односторонние
пределы конечны, но не равны между собой,
то
-
точка разрыва первого рода.
