К.р. №1 9 вариант
.doc
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОННИКИ
Факультет заочного и дистанционного обучения
Специальность: автоматизированные системы обработки информации
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ №1
ВАРИАНТ №9
Электронный адрес:
Контрольная работа №1
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Вариант 9
№9
Даны четыре вектора ;;; в некотором базисе. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение:
Так как скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сум-ме произведений соответствующих координат, то
1) Скалярное произведение:
2) Векторное произведение:
3) Вычислим смешанное произведение векторов
Поскольку смешанное произведение этих векторов не равно нулю, то они не компланарны. Следовательно, они образуют базис.
Найдем координаты вектора в этом базисе:
№19
Даны координаты вершин пирамиды . Найти
1) Длину ребра ;
2) Уравнение прямой ;
3) Угол между ребрами и ;
4) Уравнение плоскости ;
5) Угол между ребром и гранью ;
6) Уравнение высоты, опущенной из вершины на плоскость
7) Площадь грани ;
8) Объем пирамиды;
9) Сделать чертёж;
; ; ; .
Решение:
-
Найдем координаты вектора :
.
Длина ребра равна длине вектора :
.
2) Уравнение прямой :
.
-
Найдем координаты вектора :
.
Скалярное произведение векторов и равно:
.
Длина ребра равна длине вектора :
.
Тогда искомый угол равен:
-
Уравнение плоскости :
5) Угол между ребром и гранью :
6) Направляющий вектор высоты, опущенной из вершины на плоскость , будет равен векторы нормали к плоскости :
.
Тогда уравнение этой высоты:
7) Найдем координаты вектора :
.
Площадь грани будет равно половине модуля векторного произведения векторов и :
8) Объем пирамиды будет равен одной шестой части модуля смешанного произведения векторов , и :
.
№29
Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .
Решение:
Составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно прямой L, т.е. нормальный вектор Р есть :
.
Решив совместно уравнения L и Р, получим точку N пересечения L с Р: . Но так как N –середина отрезка , то
.
Таким образом, точка имеет координаты .
№39
Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки вдвое дальше, чем от прямой .
Решение:
Ответ: .
9) Сделать чертёж.