К.р. №1. 9 вариант
.docxЗадача 9.
Даны четыре вектора , , , в векторном базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
Вычисляем:
Следовательно, векторы , , образуют базис, и вектор линейно выражается через базисные векторы:
Или в координатной форме:
Решим полученную систему при помощи формул Крамера:
=
; ;
Поэтому
Ответ:
Задача 19.
Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: 1) длину ребра A1A2; 2) угол между ребрами A1A2 и A1A4; 3) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3; 4) площадь грани A1A2A3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой A1A2; 7) уравнение плоскости A1A2A3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3. Сделать чертеж.
Координаты вершин пирамиды: A1 (7; 5; 3), A2 (9; 4; 4), A3 (4; 5; 7), A4 (7; 9; 6).
1) Длину ребра A1A2 находим по формуле расстояния между двумя точками:
2) Угол между ребрами A1A2 и A1A4 найдем как угол между векторами и
Косинус угла между векторами
3) Угол между ребром и гранью определим вычислив координаты нормального вектора плоскости A1A2A3. Он будет равен векторному произведению векторов и
;
Векторное произведение
Нормальный вектор
Синус угла
Угол равен
4) Площадь грани A1A2A3 равна половине векторного произведения
5) Объем пирамиды равен шестой части смешанного произведения векторов , , .
; ;
Смешанное произведение:
Объем пирамиды:
6) Уравнение прямой A1A2
Направляющим вектором прямой является , кроме того прямая проходит через точку A1 (7; 5; 3).
Уравнение прямой:
7) Уравнение плоскости A1A2A3
Нормальный вектор плоскости , кроме того плоскость проходит через точку A1 (7; 5; 3).
Уравнение плоскости:
- уравнение плоскости A1A2A3.
8) Уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3
Нормальный вектор A1A2A3 является направляющим вектором искомой высоты, кроме того высота проходит через точку A4 (7; 9; 6).
Уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3:
Чертеж:
Задача 29.
Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки A(4; 0) вдвое дальше, чем от прямой x=1.
Пусть искомой линии принадлежит точка M(x; y).
Тогда расстояние от точки M до точки A(4; 0) будет
Расстояние от точки M до прямой x=1
По условию откуда получим уравнение
После преобразований получим
Ответ:
Задача 39.
Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления:
Совместность матрицы докажем по теореме Кронекера-Капелли.
Найдем ранг матрицы данной системы А и ранг расширенной матрицы В.
;
Из второй строки вычитаем первую умноженную на 2 и из третьей строки вычитаем первую умноженную на 3. Затем вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 4/7.
Следовательно , значит исходная система совместна и имеет единственное решение.
1) решим систему методом Гаусса.
Составим систему
Результат , , .
2) решим систему средствами матричного исчисления.
Решение средствами матричного исчисления имеет вид .
Сначала найдем обратную матрицу:
; ;
; ; ;
; ; .
Следовательно, , , .
Ответ: , , .
Задача 49.
Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.
Сначала найдем ранг матрицы системы путем преобразований:
Поменяем местами первую строку с третьей, затем вычтем из второй строки первую, умноженную на три, и из третьей первую умноженную на семь. Потом вычтем из третьей строки вторую, умноженную на два.
Ранг матрицы равен r=2. Количество неизвестных n=4. Так как ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевые решения. Размерность пространства решений матрицы равна n-r=4-2=2.
Преобразованная система уравнений:
Эти формулы дают общее решение, т.к. придавая x3 и x4 произвольные значения, получим x1 и x2. Запишем решение в виде вектора-столбца и разложим его по фундаментальной системе решений
Полагаем x3=C1 и x4=C2 где C1 и C2 произвольные постоянные, получаем общее решение в виде , где
образуют базис пространства решений.
Ответ: размерность пространства решений матрицы равна n-r=2;
базис пространства решений .
Задача 59.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:
Характеристическое уравнение матриц имеет вид откуда характеристическое уравнение данной матрицы имеет вид
Получаем собственные значения , .
При получаем систему
При x1=1 получаем собственный вектор
При получаем систему
При x3=1 получаем собственные векторы
Ответ: собственные значения , ;
собственные векторы , .
Задача 79.
Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм: .
Матрица квадратичной формы имеет вид
Решим характеристическое уравнение :
Собственные значения матрицы А
Найдем собственные векторы из системы
Для
;
Для
;
Нормируем собственные векторы
;
Составим матрицу перехода от одного базиса к новому
и выполним преобразование
Из исходного уравнения кривой получим
После преобразований получим
Приведем уравнение к каноническому виду
– каноническое уравнение элипса с полуосями ;
Ответ: