1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

3. Даны векторы a(a1; a2; a3), b(b1; b2; b3), c(c1; c2; c3) и d(d1; d2; d3) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

a (-2;3;5), b (1;-3;4), c (7;8;-1), d (1;20;1).

Векторы a, b, c образуют базис в пространстве R³ в том случае, если равенство a + b + c = 0 выполняется лишь тогда, когда  =  =  = 0.

Рассмотрим это условие:

(-2;3;5) + (1;-3;4) + (7;8;-1) = (0;0;0) или

Рассмотрим матрицу данной системы и приведем ее к треугольному виду:

Умножим первую строку на 3, вторую на 2 и сложим их, умножим первую строку на 5, третью на 2 и сложим их ; умножим третью строку на 3, вторую на 13 и сложим их.

Так как число ненулевых строк в треугольной матрице равно числу переменных, то система имеет единственное решение, а именно  =  =  = 0. Значит, векторы a, b, c образуют базис. Вектор d в базисе a, b, c имеет вид:

₁a + ₁b + ₁c = d.

В расширенном виде:

Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (см. предыдущие действия):

Получим систему:

Значит, вектор d в базисе a, b, c имеет координаты d(2;-2;1).

13. Даны координаты вершины пирамиды а1а2а3а4 .Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объём пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

8) уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

Сделать чертёж.

А₁(3;5;4), А₂(5;8;3),А₃(1;9;9), А₄(6;4;8)

1. Длина ребра А₁А₂ равна расстоянию между этими точками, которое находится по формуле : А

2. Угол между рёбрами А₁А₂ и А₁А₄ равен углу между векторами А₁А₂ и А₁А₄. Найдём координаты этих векторов.

А₁А₂ =(5-3;8-5;3-4)=(2;3;-1)

А₁А₄=(6-3;4-5;8-4)=(3;-1;4)

Тогда, если φ угол между векторами А₁А₂ и А₁А₄, то

Тогда

3. Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃ найдём следующим образом: для начала узнаем уравнение грани А₁А₂А₃, затем выпишем нормальный вектор этой грани, найдём угол между нормалью к грани А₁А₂А₃ и вектором А₁А₄. Тогда искомый угол между гранью А₁А₂А₃ и вектором А₁А₄ есть разность 90⁰ и полученного последнего угла.

Уравнение плоскости А₁А₂А₃ получим как уравнение плоскости, проходящей через три точки, а именно

или

Значит, нормальный вектор будет иметь координаты N=(19;-8;14). Найдём угол между нормалью к грани А₁А₂А₃ и вектором А₁А₄.

Тогда

Значит, угол между гранью А₁А₂А₃ и вектором А₁А₄ равен 72,2⁰.

4. Найдём координаты векторов А₁А₂ и А₁А₃.

А₁А₂ =(5-3;8-5;3-4)=(2;3;-1)

А₁А₃=(1-3;9-5;9-4)=(-2;4;5)

Тогда площадь грани А₁А₂А₃ будет равна

ед²

5. Объём треугольной пирамиды равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на рёбрах А₁А₂ , А₁А₃, А₁А₄. Тогда

(ед³)

6. Уравнение прямой А₁А₂ имеет вид: , где (x₀;y₀;z₀ ) – координаты точки, через которую проходит прямая, а (l;m;n) – координаты направляющего вектора. За координаты (x₀;y₀;z₀ ) можно выбрать координаты точки А₁, а за направляющий вектор взять вектор А₁А₂. Тогда получим:

–уравнение прямой А₁А₂ в симметричном виде.

7. Уравнение плоскости А₁А₂А₃ было найдено в пункте 3), а именно

–уравнение плоскости в нормальном виде.

8. Высота, опущенная из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃ имеет своим направляющим вектором нормальный вектор плоскости А₁А₂А₃ , а значит

- уравнение высоты в симметричном виде.

Сделаем чертёж.

23. Составить уравнение линии, для каждой точки отношение расстояния от начала координат к расстоянию до прямой 3х+16=0 равно 0,6.

Пусть M(x;y) – произвольная точка искомой кривой. Найдем нужные расстояния:

d = = – расстояние от начала координат до произвольной точки кривой;

d = = = – расстояние от произвольной точки кривой до прямой. Тогда

или ;

Это окружность с центром в точке (3;0) и радиусом равным 5.