Математика КР №1 Вариант5

Вариант №5

Даны четыре вектора , , и , заданные в декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Дано : ; ; ; .

Решение

1) Найдем вектор для этого умножим координаты вектора на 2 и от полученного вектора вычтем вектор . В результате вычитания получим

Так как скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат, то

.

2) По аналогии с пунктом 1 найдем вектор . Тогда векторное произведение найдем по формуле

:

3) Базисом в пространстве являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов, заданных в декартовой системе координат, является равенство их смешанного произведения нулю. Отсюда находим:

_.

Значит, векторы некомпланарны и образуют базис. Составим систему уравнений в координатном виде , где координаты вектора в базисе , и найдем .

Определитель найден выше: .

; ; .

Имеем: ; ; .

Значит, .

№15

Даны координаты вершин пирамиды . Требуется найти: 1) длину ребра ; 2) уравнения прямой ; 3) угол между ребрами и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) уравнения высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) площадь грани ; 8) объём пирамиды; 9) сделать чертеж, если ;;

Решение

1) Длина ребра численно равна расстоянию между точками и , которое в декартовой системе координат вычисляется по формуле

,

где координаты точки , координаты точки .

Таким образом, вычисляем:

.

2) Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки . Тогда .

В таком виде уравнения прямой называются каноническими. Они могут быть записаны и в виде

или

т.е. уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей.

3)Угол  между ребрами и вычисляется по формуле из скалярного произведения векторов и .

Находим: ; ;

; ;

.

Поэтому , .

4) Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой , где координаты точки , координаты точки , координаты точки .

.

5) Угол  между ребром и плоскостью – это угол между вектором и его ортогональной проекцией на грань .

Вектор перпендикулярен грани , что вытекает из определения векторного произведения векторов и

Вектор перпендикулярен грани , что вытекает из определения векторного произведения векторов и :

Здесь , . Как и в пункте 3, находим:

.

Отсюда получаем, что .

6) Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой , где точка, лежащая на искомой прямой; координаты вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. . Имеем .

7) Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения:

.

8) Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , , которое находится по формуле .

Таким образом, .

9) Сделаем чертёж:

Задание №25

Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .

Решение

Составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно прямой L, т.е. нормальный вектор Р есть :

.

Решив совместно уравнения L и Р, получим точку N пересечения L с Р: . Но так как N –середина отрезка , то

.

Таким образом, точка М имеет координаты .

Задача 35. 

Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки вдвое больше, чем до прямой .

Решение

Обозначим произвольную точку искомой линии как . Тогда по условию получаем, что , где Р – основание перпендикуляра из точки М к прямой .

Находим: ; .

Значит, . Возводя обе части этого соотношения в квадрат, получаем . Это каноническое уравнение ветви гиперболы с полуосями с центром в точке .Полученная ветвь гиперболы изображён на следующем рисунке.