математика кр1 вариант 8
.docучреждения образования
белорусский государственный университет
информатики и радиоэлектроники
факультет заочного и дистанционного обучения
программное обеспечение информационных технологий
контрольная работа №1
по высшей математике
вариант №8
1. Даны четыре вектора , , и , заданные в декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
; ; ; .
Решение
1) Найдем вектор для этого умножим координаты вектора на 2 и от полученного вектора вычтем вектор . В результате вычитания получим
Так как скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат, то
.
2) По аналогии с пунктом 1 найдем вектор . Тогда векторное произведение найдем по формуле
:
3) Базисом в пространстве являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов, заданных в декартовой системе координат, является равенство их смешанного произведения нулю. Отсюда находим:
.
Значит, векторы некомпланарны и образуют базис. Составим систему уравнений в координатном виде , где координаты вектора в базисе , и найдем .
Определитель найден выше: .
; ; .
Имеем: ; ; .
Значит, .
2. Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) уравнение прямой ; 3) угол между рёбрами и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) площадь грани ; 8) объём пирамиды; 9) сделать чертёж.
; ; ; .
Решение
1) Длина ребра численно равна расстоянию между точками и , которое в декартовой системе координат вычисляется по формуле
,
где координаты точки , координаты точки .
Таким образом, вычисляем:
.
2) Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки . Тогда .
3) Угол между ребрами и вычисляется по формуле из скалярного произведения векторов и .
Находим: ;
;
, .
4) Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой , где координаты точки , координаты точки , координаты точки .
.
5)Угол между ребром и гранью найдем по формуле:
Уравнение плоскости: , значит, A=5, B=6, C=-4.
6) Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой , где точка, лежащая на искомой прямой; координаты вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. . Имеем .
7) Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения:
.
8) Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , , которое находится по формуле .
Таким образом, .
9) Сделаем чертёж:
3. Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости .
Решение
Найдем координаты точки , которая является проекцией т. на плоскости
Уравнение прямой находим в виде:
- координаты вектора
-нормальный вектор плоскости
Является направляющим вектором прямой , т.е.
Уравнение :
или ,
Подставляя в уравнение плоскости , , , найдем :
, ,
,
Тогда координаты т.:
, ,
- середина отрезка , где
Ответ:
4. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки и от оси ординат.
Решение
Пусть - производная точка искомой линии. По условию
где - проекция точки на ось ординат.
С другой стороны, по формуле расстояния между двумя точками, получаем
, .
Подставляем эти выражения в равенство , находим уравнение искомой линии
, , ,
,
Получаем уравнение параболы
Чертеж: