Высшая математика часть 2. Контрольная работа №4. Вариант 4
.docУЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет заочного, вечернего и дистанционного обучения
Специальность: программное обеспечение
информационных технологий
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ № 4
Вариант № 4
4. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ
Задание 154. Найти производную данных функций.
а)
y′ = ()′ = * ()′ = * ( =
= * * = =
б)
y′ = (tg ln )′ = (tg 0,5 ln x)′ = * 0,5 * =
в)
y′ = ()′ = ln 3 * * 2 cos x (− sin x) = − 2 ln 3 * *
* sin x cos x
г)
ln y = ln x * e −x
ln y = ln x + ln e −x
ln y = ln x + (− x) = ln x – x
= − 1
y = x * e −x
y´ = (1/x − 1) * x e −x
y´ = e –x – xe –x
д)
(cos(x – y) – 2x +4y) = (sin(x – y) + 4) – sin(x – y) – 2 = 0
(sin(x – y) + 4) = sin(x – y) + 2
=
Задание 164. Найти и
а)
y´ = = = = =
= −
y´´ = − =
= − ( − (1 − + * ( − (1 − ) * ( − 2x) ) =
= – = –
б)
= 5 + 2
= 3 + 8
z = y´ =
= /
=
= =
Задание 174. Применив формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лангранжа к функции вычислить с точностью до 0,001 значения и . Методом линейной интерполяции вычислить приближенное значение
а=0,23, b=0,26, x0=0,24.
1 + x + + … +
x = 0.23: u0 = 1
u1 = 0.2300
u2 = = 0.0325
u3 = = 0.0020
u4 = = 0.0001
= 1.23 + 0.0325 + 0.0020 + 0.0001 = 1.2646 ≈ 1.265
x = 0.26: u0 = 1
u1 = 0.2600
u2 = = 0.0338
u3 = = 0.0029
u4 = = 0.0002
= 1.26 + 0.0338 + 0.0029 + 0.0002 = 1.2969 ≈ 1.297
= + * (0.24 – 0.23) = 1.265 + * 0.01 = 1.265 + = 1.276
Задание 184. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a,b].
f´(x) = – cos x = 0
cos x =
x = ± + 2πn
x є [ π ; 2 π] => x = π
f ( π) = π + 1 ≈ 3.356
f ( π) = π + ≈ 3.484 → max
f (2π) = π – 0 = π ≈ 3.14 → min
Задание 194. Из полосы жести шириной 11 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапеции. Дно желоба должно иметь ширину 7 см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?
b = 7
b + 2a = 11
a = 2
c - ?
Smax - ?
S = (b + c) * h
h =
h = = = =
S = (7 + c) = (7 + c)
S´ = ((7 + c) + ) = () =
= * = * = = −
− = 0
c1 =8; c2 = − 1
= 0
− ( − 14c + 33) = 0
− (c – 3)(c – 11) = 0
c3 = 3; c4 = 11
c = 8
Задание 204. Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить ее график, используя результаты исследования.
y = =
1. D(y) = (− ∞; 1) U (1; + ∞)
2. y(− x) = = − => не является чётной или нечётной
3. y = 0: = 0 => x =
4. Точки разрыва: x = 1, = ∞ => x = 1 – вертикальная асимптота
Наклонные асимптоты:
k = = = 0
b = = = 0
y = 0 – горизонтальная асимптота
5. Возрастание / убывание
y´ = = = =
x1 = 0; x2 = 1
6. Выпуклость / вогнутость
y´´ = ()´ = = =
= * ((1 − 2x)(x − 1) – 4(x – x2)) = * (x – 2x2 – 1 + 2x – 4x + 4x2) =
= (2x2 – x – 1) = 0
2(x2 − x − ) = 0
2(x + )(x – 1) = 0
x1 = − ; x2 = 1
Задание 214. Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить ее график, используя результаты исследования.
1. D(y) = (− ∞; 0) U (0; + ∞)
2. y(− x) = = = − не является чётной или нечётной
3. y = 0 − нет
4. точки разрыва х = 0
= ∞ => вертикальная асимптота
k = = = 0
b = = = 0 => горизонтальная асимптота
5. y´ = ()´ = − = = 0 => убывает на всём х
6. y´´ = − ( = − ( − (− 2() *
= − + = + = = =
= = 0
= 0
x = 0
Задание 224. Найти уравнение касательной и уравнение нормальной плоскости линии r = r(t) в точке t0 .
x = 3 y = t2 – t z = 3t3 + t
x´ = y´ = 2t – 1 z´ = 6t + 1
x0 = 3 y0 = 0 z0 = 4
x´(t0) = y´(t0) = 1 z´(t0) =7
Уравнение касательной:
= =
= = => = =
Уравнение плоскости:
x´(f0)(x – x0) + y´(f0)(y – y0) + z´(f0)(z – z0) = 0
(x – 3) + 1y + 7(z – 4) = 0
x + y + 7z − = 0