Высшая математика часть 2. Контрольная работа №5. Вариант 4

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет заочного, вечернего и дистанционного обучения

Специальность: программное обеспечение

информационных технологий

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ № 5

Вариант № 4

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

234. Дана функция z=sin²(y-ax). Показать, что

z = sin² (y – ax)

=

a² =

= 2 sin (y – ax) * cos (y – ax) = sin (2y – 2ax)

= 2 sin (y – ax) * cos (y – ax) (− a) = − a sin (2y – 2ax)

= 2 cos (2y – 2ax)

= − a cos (2y – 2ax) * (− 2a) = 2a² cos (2y – 2ax)

= a²

244. Дана функция z=f(x, y) и две точки А(х₀ , y₀) и В (х₁,_,y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение функции в точке В исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции ее дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x, y) в точке С (x₀, y₀, z₀).

А (1, 3), В (0,95, 2,94).

z = f(x; y) A(x₀; y₀) B(x₁; y₁)

1. z (B) − ?

2. ~ z (B)

3. уравнение касательной плоскости к z в точке С (x₀; y₀; z₀)

1. z (B) = 2 * 0,95² + 2 * 0,95 * 2,94 – 2,94² = − 1,2526

2. z (A) = 2 * 1² + 2 * 1 * 3 – 3² = − 1

Δx = − 0,05

Δy = − 0,06

z (B) = z (A) + df (A);

df (A) = * Δx + * Δy

* 4x + 2y => (A) = 4 * 1 + 2 * 3 = 10

= 2x – 2y => (A) = 2 * 1 – 2 * 3 = − 4

df (A) = 10 * (−0,05) + 4 * 0,06 = − 0,26

z (B) = − 1 – 0,26 = − 1,26

δ = * 100% = * 100% = 0,6%

3. уравнение касательной:

(c) (x – x₀) + (c) (y – y₀) = z – z₀

10 (x – 1) – 4 (y – 3) = z

z = 10x – 4y + 2 в точке А

254. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.

в треугольнике, ограниченном прямыми x=0, y=0, x+y=3.

Локальный экстремум

= 2x + 4y – 6

= 4y + 4x

2y = 6

y = 3

x = −3

точка Р₀ (3; −3) – вне зоны Δ

2. Границы области:

OA: y = 0 => z = d (x; 0)

g₁ = x² – 6x – 1

= 2x – 6

x = 3

g₁ (3) = 9 – 19 = − 10

OB: x = 0 => z = d (0; y)

g₂ = − 2² – 1

= − 4y

y = 0

(0) = − 1

ΔB: y = 3 – x => z = d (x; 3 – x)

g₃ = x² – 2 (3 – x)² + 4x (3 – x) – 6x – 1

g₃ = x² – 2 (9 – 6x + x²) + 12x – 4x² – 6x – 1

g₃ = − 3x² + 6x – 1 – 18 + 12x – 2x²

g₃ = − x² + 18x – 19

= − 2x + 18

x = 9

9 не принадлежит [A; B]

Крайние точки: точка В: z = − 2*9 – 1 = − 19

z наибольшее = − 1 в точке О (0; 0)

z наименьшее = − 19 в точке В (0; 3)

264. Дана функция z=z(x, y), точка A(x₀, y₀) и вектор а. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А в направлении вектора а.

А (2, 2), а = 2i - 3j .

1. grad z = i +

(A) = = =

(A) = = =

grad z = 0,2 + 0,3

2. = cos α + cos β

= = = −

cos α = cos β =

= * − * = = −

274. Найти формулу вида у=ах+b методом наименьших квадратов по данным опыта (таблицы).

i	xi	yi	xi yi
1	1	3,8	3,8	1
2	2	4,8	9,6	4
3	3	3,3	9,9	9
4	4	1,3	5,2	16
5	5	1,8	9,0	25
	15	15	37,5	55

10a = − 7,5

a = − 0,75

b = 5,25

y = − 0,75x + 5,25