ВМ Кр№1

Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Вариант 9

9. Даны четыре вектора a ( a1 ; a2 ; a3 ), b ( b1 ;b2 ;b3 ), c ( c1 ;c2 ;c3 ) и d ( d1 ; d2 ; d3 ) в

некотором базисе. Показать, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

a (1;0;5), b (3;2;7), c (5;0;9), d (-4;2;-12).

Три вектора a , b , c линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны, т.е. определитель матрицы abc равен нулю.

abc =	1	0	5	= 1*2*9+5*7*0+3*5*0-5*2*5-1*7*0-3*9*0 = -32 ≠ 0
	3	2	7
	5	0	9

Смешанное произведение векторов a , b , c отлично от нуля, следовательно, векторы

некомпланарны. Значит a , b , c являются линейно независимыми и образуют базис.

Если векторы a ,		,
	b		c некомпланарны, то любой вектор d				можно единственным образом
разложить по ним.
d = xa + yb + zc, где
					в базисе.
x, y, z – координаты вектора d
-4 = 1*x + 3*y + 5*z			-4 = x + 3y + 5z
2 = 0*x + 2*y + 0*z			2 = 2y
-12 =5*x + 7*y + 9*z			-12 = 5x + 7y + 9z

Решаем систему уравнений

x + 3y + 5z = −42 y = 2

5x + 7 y + 9z = −12

находим y из второго уравнения: 2y = 2

y = 1

выражаем x из первого уравнения: x + 3y + 5z = - 4

x = -3y – 5z – 4

подставляем выражения для x и y в третье уравнение: 5x + 7y + 9z= -12

5(-3y – 5z – 4) + 7y + 9z= -12

2

-15y – 25z – 20 +7y + 9z = -12 -16z = 8 + 8y

-16z = 16 z = -1

найдем x:

x = -3y – 5z – 4

x = -3*1 – 5*(-1) – 4 x = -3 + 5 – 4

x = -2

d = (-2)*a + 1*b +(-1)*c d = -2a + b – c

Вектор d в данном базисе имеет координаты x = -2, y = 1, z = -1

19. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между рёбрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объём пирамиды; 6) уравнения прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертёж.

А1 (7;5;3), А2 (9;4;4), А3 (4;5;7), А4 (7;9;6).

Находим координаты векторов А1А2 , А1А3 , А1А4

А1 А2 = (9-7;4-5;4-3) = (2;-1;1)

А1 А3 = (4-7;5-5;7-3) = (-3;0;4)

А1 А4 = (7-7;9-5;6-3) = (0;4;3)

1) находим длину ребра А1А2, которая равна расстоянию между точками А1 и А2 , по формуле

ρ= (х						2	− х )2	+ ( у	2	− у	)2	+ (z	2	− z )2
							1			1				1
					= (9 − 7)2				+ (4 − 5)2 + (4 − 3)2 = 6
	А А
	1	2

2) угол между рёбрами А1А2 и А1А4 вычисляем по формуле

	cos φ =			(А1 А2 , А1 А4 )
				А А				×		А А
				1		2				1	4
	cos φ = 2 × 0 + (−1) × 4 + 1× 3 = −													1
														5 6
			6 × 02 + 42 + 32

3

				1					1
φ = arccos		−				= π - arccos
			5	6				5	6

3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 определяем по формуле

sin θ =		Ax1 + By1 + Cz1					, где
	A2 + B2 + C 2 × x 2		+ y 2
						+ z 2
1			1			1

x1, y1, z1 - координаты вектора,

А, В, С - коэффициенты уравнения плоскости Ax+By+Cz+D=0 Уравнение плоскости А1А2А3 записываем в виде

x − x1	y − y1		z − z1				x − 7	y − 5 z − 3
x2 − x1	y2 − y1		z2 − z1			= 0	9 − 7 4 − 5		4 − 3	= 0
x3 − x1	y3 − y1		z3 − z1				4 − 7	5 − 5	7 − 3
x − 7	y − 5	z − 3
2	− 1	1			= 0
− 3	0	4

(x-7)*(-1)*4 + (-3)*1*(y-5) + (z-3)*2*0 - (z-3)*(-1)*(-3) - (x-7)*1*0 - 4*2*(y-5) = 0 - 4x - 11y - 3z + 92 = 0

	А1 А4 = (0;4;3)
sin θ =					(−4) × 0 + (−11) × 4 + (−3) × 3				=	53
			(−4)2 + (−11)2 + (−3)2 × 02 + 42 + 32							5 146
			53
θ = arcsin
				5 146

4) грань А1А2А3 является треугольником, площадь которого составляет половину площади параллелограмма, построенного на векторах А1А2 иА1А3

S A1A2A3 =	1			×
		А А			А А
	2	1	2	1		3

Координаты векторного произведения рассчитываем по формуле

y1

z1

x1 z1

x1

y1

А1

А2

× А1 А3

=

× i −

× j +

× k

y2

z2

x2 z2

x2

y2

= (2;-1;1)

= (-3;0;4)

А1

А2

А1 А3

×

=

− 1

1

× i −

2

1

× j +

2 − 1

× k = -4i - 11j - 3k

А

А

2

А А

3

1

1

0

4

− 3

4

− 3 0

2

×

3

= (-4; -11; -3)

А1

А

А1

А

4

S A1A2A3 =

1

×

(−4)2

+ (−11)2 + (−3)2 =

146

2

2

5) объём пирамиды вычисляем по формуле

V = 1 mod

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

x

− x

y

3

− y

z

3

− z

6

3

1

1

1

x4

− x1

y4 − y1

z4 − z1

1 mod

9 − 7

4 − 5

4 − 3

1 mod

2 − 1 1

1

V A1A2A3A4

=

4 − 7

5 − 5

7 − 3

=

− 3 0 4

=

mod (2*0*3 + 0*4*(-1) +

6

7

− 7

9 −

5

6 − 3

6

0 4 3

6

+1*4*(-3) - 1*0*0 - 3*(-3)*(-1) - 2*4*4) = 536

6)уравнение прямой А1А2 как прямой проходящей через две точки записываем в виде

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

x − 7

=

y − 5

=

z − 3

x

2

− x

y

2

− y

z

2

− z

9 − 7

4 − 5 4 − 3

1

1

1

x − 7

=

y − 5

=

z − 3

- каноническое уравнение

2

− 1

1

Обозначая равные отношения буквой t получаем уравнения вида

	x=x0+a1t y=y0+a2t z=z0+a3t
	x − 7	= t		y − 5	= t		z − 3	= t
2				− 1		1
x= 7+2t			y= 5 - t			z= 3 + t - параметрические уравнения

7) уравнение плоскости А1А2А3 определено в п. 3 -4x - 11y - 3z + 92 = 0

8) каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0,y0,z0) и имеющей направляющий (любой ненулевой вектор параллельный прямой) вектор а = (а1,а2,а3), имеет вид

x − x0	=	y − y0		=	z − z0
а
		а	2		z	3
1

Для искомых уравнений высоты точкой M0 является точка А4 (7;9;6), а за направляющий вектор а = (а1,а2,а3) может быть принят нормальный (перпендикулярный плоскости)

вектор n = (A, B, C). Для плоскости А1А2А3 n = (-4;-11;-3).

x − 7	=	y − 9		=	z − 6			каноническое уравнение высоты
− 4		− 11				− 3
x − 7	= t		y − 9			= t		z − 6	= t
− 4			− 11					− 3
x=7 - 4t				y=9 - 11t					z=6 - 3t параметрические уравнения высоты

5

29. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки А (4;0) вдвое дальше, чем от прямой x = 1.

Пусть М (x,y) произвольная точка линии, N - основание перпендикуляра проведённого через точку М к прямой x = 1. Расстояние от точки А до точки М АМ определяем по формуле

ρ= (х				2	− х )2	+ ( у	2	− у	)2
					1			1
А (4;0) , x = 1
	АМ		= (х− 4)2 + ( у − 0)2 = (x − 4)2 + y2

Расстояние от точки М до прямой x = 1 NМ определяем по формуле

d = Ax + By + C

A2 + B2

NM = x − 1 = x − 1 12

По условию задачи AM = 2 NМ

(x − 4)2 + y2 = 2 x − 1

(х-4)2 + y2 = 4(x-1)2

x2 + y2 – 8x + 16 – 4x2 + 8x – 4 = 0 3x2 - y2 = 12

6

	x2	−	y2	= 1
	4		12

Полученное уравнение определяет гиперболу с полуосями a=2, b= 2 3

39. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить её двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

x1 − 2x2 + 3x3 = 62x1 + 3x2 − 4x3 = 203x1 − 2x2 − 5x3 = 6

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.

1) для решения системы уравнений по методу Гаусса первое уравнение системы умножают на - а21/а11 и прибавляют ко второму; первое уравнение системы умножают на - а31/а11 и прибавляют к третьему.

Записываем расширенную матрицу

7

~

1 − 2 3 6

1 − 2 3 6

1 − 2 3

6

1 − 2 3

6

2 3 − 4 20

→

0 7 − 10 8

→

0

7 − 10

8

→

0

0 14,5

29

А =

3 − 2 − 5 6

3 − 2 − 5 6

0

4 − 14 − 12

0

4 − 14 − 12

Вторая матрица получена из первой путём умножения первой строки на (-2) и прибавления ко второй строке. Третья матрица получена из второй путём умножения первой строки на (-3) и прибавления к третьей строке. Четвертая матрица получена из третьей путем умножения третьей строки на (-1,75) и сложения со второй строкой.

Записываем в виде системы уравнений

x1 −		2x2 + 3x3 = 6	x1 − 2x2 + 6 = 6
				= 2
14,5x3 = 29			x3
4x	2	− 14x = −12	4x	2	− 28 = −12
		3

x1x2x3

=8

=4

=2

Система уравнений имеет решение x1=8, x2=4, x3=2, следовательно, является совместной.

			1 − 2		3
2) А =			2 3		− 4
			3	− 2 − 5
	1 − 2			3
∆=	2	3 − 4			= 1*3*(-5) + 3*(-2)*(-4) + 3*2*(-2) - 3*3*3 - 1*(-2)*(-4) – (-5)*2*(-2) = -58 ≠ 0
	3 − 2			− 5

Так как detA≠0, то матрица А имеет обратную матрицу и решение системы уравнений можно найти по формуле X=A-1*B или

x1

1

A11 A21 A31

6

x

2

=

A

A

A

× B

, где B =

20

, Aij

алгебраические дополнения элементов аij

12

22

32

x

3

A

A

A

6

13

23

33

исходной матрицы А.

А11=

3 − 4

=-23, А12= -

2 − 4

= -2, А13=

2 3

=-13, А21= -

− 2 3

= -16, А22=

1 3

=-14,

− 2 − 5

3

− 5

3 − 2

− 2 − 5

3 − 5

А23 = -

1 − 2

= -4, А31 =

− 2 3

= -1, А32 = -

1 3

= 10, А33 =

1 − 2

= 7

3 − 2

3 − 4

2 − 4

2

3

Матричное решение системы имеет вид

1

x

1

− 23

− 16

− 1

6

1

− 464

8

x2

=

− 2

− 14

10

×

20

= −

− 232

=

4

− 58

58

x

3

− 13 − 4

7

6

− 116

2

Система уравнений имеет решение x1=8, x2=4, x3=2, следовательно, является совместной.

8

49. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

7x1 + 5x2 − 3x3 + x4 = 0

3x1 + 2x2 − 3x3 + 2x4 = 0

x + x

2

+ 3x − 3x

4

= 0

1

3

7 5 − 3

1

7 5 − 3 1

7 5 − 3 1

7

5 − 3 1

3 2 − 3

2

→

− 4 − 3 0 1

→

− 4 − 3

0 1

→

− 4 − 3 0 1

1 1 3 − 3

1 1 3 − 3

8 6

0 − 2

0

0 0 0

Вторая матрица получена из первой путём умножения первой строки на (-1) и прибавления ко второй строке. Третья матрица получена путем прибавления первой строки к третьей строке. Четвёртая матрица получена умножением второй строки на 2 и прибавлением к третьей строке.

7 5	= 7*(-3) - 5*(-4)= -1 ≠ 0
− 7 − 4

Ранг матрицы rA= 2, число неизвестных (число столбцов матрицы) n=4. Размерность пространства решений системы n-r = 4-2 = 2, следовательно, существует базис этого пространства, состоящий из двух векторов, через который выражается любое решение системы.

7x1 + 5x2 − 3x3 + x4 = 0

3x3 = 7x1 + 5x2 + x4

7x1

5x2

x3

=

+

3

3

− 4x1

− 3x2

+ x4

= 0

x4

= 4x1 + 3x2

x

4

= 4x

+ 3x

2

1

						=		3	2	x1 +			2		2	x2
			x3						3						3
			x		4	=		4x			+ 3x			2
									1
Записываем общее решение в векторном виде
			x1								x1									1							0
											x2									0							1
			x2
	X =			=				2						2			=	x1			2		+ x2					2
			x				3		x		+ 2				x				3								2
								3						3							3							3
			3						1							2
			x4				4x1 + 3x2													4							3
																1										0
																0										1
Вектор-столбцы												X1		=		3	2	и			X 2			=		2		2		образуют базис пространства решений данной
																	3											3
																4										3

системы.

9

59. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

5	9	7
0	3 − 2
0	2 − 1

Находим корни характеристического уравнения, которые являются собственными значениями матрицы

A − λE			5 − λ	9	7
		=	0	3 − λ − 2			=0
			0	2	− 1 − λ

(5-λ)*(3-λ)*(-1-λ) + 0*9*(-2) + 0*2*7 - 0*7*(3-λ) - 0*9*(-1-λ) - 2*(-2)*(5-λ) = 0 (5-λ)*(3-λ)*(-1-λ) + 4*(5-λ) = 0 -λ3 + 7λ2 – 11λ + 5 = 0 (5-λ)*( λ2 – 2λ + 1) = 0 (5-λ)*(λ – 1) 2 = 0

5-λ = 0	λ – 1 = 0
λ1 = 5	λ2,3 = 1 (двукратный корень)

Находим собственные векторы матрицы, подставляя корни характеристического уравнения в систему

(5 − λ )x1 + 9x2 + 7x3 = 0(3 − λ )x2 − 2x3 = 0

2x2 + (−1 − λ )x3 = 0

Для λ1 = 5

9x2 + 7x3 = 0

x

= − 7 x

x1

x1

1

2

9

3

= − x3

x2 = 0

X1 =

x2

=

0

= x1

0

− 2x2 − 2x3 = 0

x2

2x

− 6x = 0

x

= 3x

x3

= 0

x

0

0

2

3

2

3

3

При х1=1

= (1;0;0)

X1

Для λ2 = 1

4x1 + 9x2 + 7x3 = 0

x1 = −4x3

x1

− 4x3

− 4

− 2x3 = 0

X 2

=

x2

=

x3

= x3

1

2x2

2x

2

− 2x = 0

x2 = x3

x

3

x

3

1

3

При х3=1 X 2 = (-4;1;1)

10

Для λ3 = 1

4x1 + 9x2

+ 7x3

= 0

x1

= −4x2

x1

− 4x2

− 4

− 2x3

= 0

X 3

=

x2

=

x2

= x2

1

2x2

2x

2

− 2x

= 0

x3

= x2

x

3

x

2

1

3

При х2=1

= (-4;1;1)

X 3

69. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.

6x2 + 2

10 xy + 3y2 = 16

Запишем матрицу квадратичной формы 6x2 + 2

10 xy + 3y2 = 16

а11=6,

а12= а21= 10 ,

а22=3

10

А =

6

10

3

Находим собственные числа матрицы

A − λE

10

= 0

=

6 − λ

10

3 − λ

(6-λ)*(3-λ) -

10 *

10

= 0

λ2 -9λ+8 = 0

D = 81 - 4*8 = 49

λ1=

9 + 7

= 8

λ2=

9 − 7

= 1

2

2

Находим собственные векторы матрицы

= 0

(6 − λ )x1 + 10x2

10x

+ (3 − λ )x

= 0

2

1

Для λ1=8

− 2x + 10x

2

= 0

10

x

x

10

10

1

x1=

x2

X1

=

1

=

= x2

x2

2

2

2

10x

− 5x

= 0

2

1

2

x2

1

Для λ2=1

x1

x1

1

5x1 + 10x2 = 0

10

x2= −

x1

X 2

=

=

= x1

x2

10

10

2

10x

+ 2x

= 0

−

x

−

2

1

1

2

2

Находим представление квадратичной формы в другом базисе

11