ВМ Кр№2

Тема 2. Введение в анализ

Вариант 9

79. Построить график функции y=f(x) преобразованием графика функции y=cos(x) y = 3cos( 12 x+1)

Построение графиков производим в следующей последовательности f(x)→f(ax)→f(a(x+b/a))→cf(ax+b))→ - cf(ax+b)), где

f(ax) – сжатие вдоль оси x в a раз при a>1, либо растяжение вдоль оси x в 1/a раз при a<1 f(x+p) – параллельный перенос по оси x на |p| вправо при p<0, либо влево при p>0.

cf(x) – растяжение вдоль оси y в c раз при с>1, либо сжатие вдоль оси y в 1/c раз при

0<с<1.

-f(x) – симметричное отображение относительно оси x.

y=cosx

y=cos	1 x: Растяжение y=cosx в	1		раза вдоль оси x
		1
	2		2

2

y = cos 12 (x+2): Параллельный перенос y=cos 12 x вдоль оси x влево на 2

y = 3cos( 12 x+1): Растяжение y = cos 12 (x+2) вдоль оси y в 3 раза

89. Дана функция r=f(ϕ) на отрезке 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Требуется:

1)построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая ϕ значения через промежуток π/8, начиная от ϕ=0;

2)Найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.

r =	6
		1 − 2 cosϕ
		ϕ	0	π	π		3π		π		5π			3π	7π	π	9π		5π		11π		3π	13π	7π	15π		2π
				8	4		8		2		8			4	8		8		4		8		2	8	4		8
	r		-6	-7,14	-14,29	25			6	3,41			2,48		2,11	2	2,11	2,48			3,41	6		25	-14,29	-7,14		-6

3

При значениях ϕ от 0 до π4 и от 74π до 2π функция точек не имеет, так как значение r не может быть меньше 0.

Связь между декартовыми и полярными координатами выражается формулами:

x = r cosϕ		cosϕ =			x
				x	2			2
						+ y
y = r sin ϕ						y
r = x2	+ y2	sin ϕ =		2			2
				x		+ y

Подставляем в исходное уравнение полученные выражения радиуса r и cosϕ.

x2	+ y2	=						6
			1 −					2x
							x2 + y2
							2x
x2 + y2 1			−								= 6
						x	2	+ y	2
x2	+ y2	− 2x = 6

( x2 + y2 )2 = (2x + 6)2

x2+y2=4x2+24x+36

4

3x2+24x-y2+36=0

x2 + 8x- y2 + 12=0 3

(x + 4)2 − y2 = 4 3

X=x+4 Y=y

X 2 − Y 2 = 1 4 12

Линия является ветвью гиперболы с центром в точке (-4;0) и полуосями а=2 и

b= 12 ≈ 3,46

99. Найти указанные пределы не пользуясь правилом Лопиталя:

а) lim

5x3 − 6x − 3

в) lim xctg5x

x3 − 2x + 4

x→∞

x→0

б) lim

2x + 1 −

x + 6

г) lim (2x − 7)[ln(3x + 4) − ln 3x]

2x2 − 7x − 15

x→5

x→+∞

а) При x→∞ имеем неопределённость вида ∞ . Необходимо её раскрыть.

∞

Разделим числитель и знаменатель на x3.

lim

5x3 − 6x − 3

=

5x3 x3 − 6x x3 − 3 x3

lim

5 − 6 x2 − 3 x3

lim

=

= 5

2 x + 4 x3

x→∞

x3

− 2x + 4

x→∞ x3 x3 − 2x2 x3 + 4 x3

x→∞

1 −

б) lim

2x + 1 −

x + 6

= lim

2x + 1 − x − 6

=

2x2 − 7x − 15

3

x→5

x→5

2(x − 5)(x +

)(

2x + 1 +

x + 6)

2

= lim

1

=

1

=

1

=

1

3

3

2

1

(2

11)

26

11

x→5 2(x +

)(

2x + 1 +

x + 6)

2(5 +

)(

10 + 1 +

5 + 6)

6

2

2

2

в) lim xctg5x = lim

x cos 5x

=

lim

x cos 5x

=

lim cos 5x

= 1

x→0

x→0 sin 5x

x→0

5x

x→0

5

5

г) lim (2x − 7)[ln(3x + 4) − ln 3x]= lim (2x − 7) ln(

3x + 4

− 1 + 1)

=

lim (2x − 7) ln(

1

+ 1) =

3

x→+∞

x→+∞

3x

x→+∞

4 x

1

1

3 x

8x − 28 ln e =

8x

− 28

8

2

= lim (2x − 7)*

*ln(

+ 1)4

=

lim

lim

x

x

=

= 2

x→+∞

3

x

3

x

x→+∞

3x

x→+∞

3x

x

3

3

4

4

5

109. Заданы функция y=f(x) и два значения аргумента x1 и x2. Требуется:

1)установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;

2)в случае разрыва функции найти её пределы при приближении к точке разрыва слева и справа;

3)сделать схематический чертеж.

1	x1=6	x2=2
f = 16 x−2

Найдём значение функции в точках x1 и x2:

1		1
f(6) = 16	6−2	= 16		4	= 2
1		1
f(2) = 16	2−2		= 16	0	(не существует)

Вычислим левый и правый пределы для точки x1:

1

lim 16 x−2 = 2

x→6−0

1

lim 16 x−2 = 2

x→6+0

Функция непрерывна в точке x1.

Вычислим левый и правый пределы для точки x2:

1

lim 16 x−2 = 0

x→2−0

1

lim 16 x−2 = + ∞

x→2+0

Функция имеет разрыв второго рода в точке x2. Построим схематично график функции f(x)

1

lim 16 x−2 = 1

x→−∞

1

lim 16 x−2 = 1

x→+∞

6

119. Задана функция y=f(x) различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

	x ≤ 0
0,
y= tgx,		0 < x <	π
			2
x,	x ≥	π
		2
Функция y = 0 при x ≤ 0 непрерывна на (-∞; 0]
Функция y = tgx при 0<x<				π непрерывна на (0;		π )
				2		2
Функция y = x при x≥π непрерывна на [ π					; +∞)
			2	2
Возможные точки разрыва: x1=0 x2= π
				2
x1=0:	lim (0) = 0			lim (tgx) = 0
	x→0−0			x→0+0
	y(0)=0			y(0)=tg(0)=0
В точке x1 функция непрерывна.
x2= π :	lim (tgx) = +∞			lim (x) = π
2	x→π	−0		x→π +0	2
	2			2
	y( π ) = tg(		π ) =+∞	y( π ) =	π
	2		2	2	2

x2 – точка разрыва второго рода.

7

8