ВМ. Контрольная 1, вариант 2
.docКонтрольная работа №1
Вариант 2
Даны четыре вектора в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение
Составим определитель матрицы из координат векторов , ,
и вычислим его:
Так как Δ≠0, то векторы , , линейно независимы и образуют базис.
Получим систему уравнений
Решим систему методом Гаусса:
Полученная матрица эквивалента системе
γ=
β=
α=
Таким образом,
Ответ:
№12
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3; Сделать чертеж.
А1 (3,3,9) А2 (6,9,1) А3 (1,7,3) А4 (8,5,8)
Решение
1) Найдем длину ребра А1А2 по формуле
2) Косинус угла между ребрами А1А2 и А1А4:
,
=(x2–x1; y2–y1; z2–z1)=(6-3;9-3;1-9)=(3;6;-8),
=(x4–x1; y4–y1; z4–z1)= (8-3;5-3;8-9)=(5;2;-1)
3) ) Синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3:
, где – направляющий вектор прямой, – нормальный вектор к плоскости.
(5;2;-1)
=(x3–x1; y3–y1; z3–z1)=(1-3;7-3;3-9)=(-2;4;-6),
=(-4;34;24)
4) Найдем площадь грани А1А2А3
S=
S= ед2
5) Объем пирамиды найдем по формуле
V=
V=ед3
6) Каноническое уравнение прямой А1А2
7) Найдем уравнение плоскости А1А2А3
,
где (А,В,С)–нормальный вектор к плоскости А1А2А3,
А1(x1,y1,z1)– координаты точки, через которую проходит плоскость.
Получим
-4(x-3)+34(y-3)+24(z-9)=0
2x-17y-12z+153=0 –общее уравнение плоскости А1А2А3
8) Найдем уравнение высоты, опущенной из точки А4, на грань А1А2А3 по формуле
,
так как нормальный вектор (А,В,С) к плоскости А1А2А3 является направляющим вектором высоты. Получим
– каноническое уравнение прямой.
Сделаем чертеж:
Ответ: 1)А1А2=
4) S= ед2
5) V=4ед3
6)
7) 2х-17y-12z+153=0
8)
№22
Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(3,0), чем от оси ординат.
Решение
Пусть М(x,y)– произвольная точка искомой кривой. Сделаем чертеж:
Тогда
АМ=
МК=
По условию АМ=2МК
Тогда составим уравнение:
Откуда
Приведем уравнение линии к каноническому виду
–каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (-1;0) и полуосями a=2, b=
Ответ:
№32
Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
Решение
Составим расширенную матрицу системы уравнений и преобразуем ее к треугольному виду
=> =3
Так как rang A=rang=3 и n=3 (число неизвестных), то система уравнений совместна и имеет единственное решение.
-
Решим систему методом Гаусса. Полученная матрица эквивалентна следующей системе уравнений:
, откуда
x3=0
x2=
x1=
-
Решим систему уравнений средствами матричного исчисления. Данная система эквивалентна матричному уравнению AX=B , откуда Х=,
где А=, Х=, В=
А-1– матрица, обратная матрице к А
, где Аij – алгебраические дополнения к элементам матрицы А.
А11=
А12=
А13=
А21=
А22=
А23=
А31=
А32=
А33=
Х=,
откуда х1=3, х2=-1, х3=0
Ответ: х1=3, х2=-1, х3=0
№42
Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений
Решение
Найдем ранг матрицы системы уравнений при помощи элементарных преобразований:
=> rA=2
Значит, система имеет ненулевые решения, размерность пространства которых равна n-r=4-2=2, где n - число неизвестных.
Полученная матрица эквивалента следующей системе
,
откуда
- общее решение системы.
Представим его в матричном виде
X=, где х3 и х4.
Вектор-столбцы и образуют базис пространства решений системы.
Обозначим х3=С1 , х4=С2, где С1 иС2 –произвольные постоянные. Тогда решение системы в векторном виде примет вид
Ответ: n-r=2 – размерность пространства решений,
, – базис пространства решений.
№52
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
Решение
Составим характеристическое уравнение матрицы :
λ1=4, λ2=λ3=-1 – собственные значения матрицы А
Найдем собственные векторы, соответствующие данным собственным значениям, из системы
При λ1=4 получим
=> x1=0, x2=0
при х3=1, получим собственный вектор =(0;0;1)Т
При λ1=λ2=-1 получим
при х2=5, получим собственные векторы ==(5;5;-8)Т
Ответ: λ1=4, λ2=λ3=-1 – собственные значения,
=(0;0;1)Т==(5;5;-8)Т( с точностью до постоянного множителя) – собственные векторы.
№62
Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.
Решение
Матрица данной квадратичной формы имеет вид:
А=
Решим характеристическое уравнение:
(4-λ) (3-λ)-6=0
λ1=1, λ2=6 – собственные значения матрицы А.
Найдем собственные векторы из системы
При λ1=1 получим
=> x2=x1
При x1= 2
При λ2=6 получим
=> x1=x2
При x2= 2 получим
Нормируем собственные векторы:
Составим матрицу перехода от старого базиса к новому:
T=
Выполняя преобразование
, получим
x=
y=
Подставив данные формулы в исходное уравнение кривой, получим:
Получим
Приведем уравнение к каноническому виду
– каноническое уравнение эллипса с полуосями а=, b=2.
Ответ: