ВМ. Контрольная 2, вариант 2

Контрольная работа №2

№72

Построить график функции y=f(x) преобразованием графика функции y=sinx

y=-3sin(2x+3)

Решение

Преобразуем функцию к виду:

Y=-3sin(2(x+))

1. Построим график функции y=sinx

2. Построим график функции y=sin2x при помощи сжатия графика y=sinx в 2 раза к оси OY.

3. Построим график функции y=sin(2(x+)) при помощи параллельного переноса графика y=sin2x на единицы влево вдоль оси OX.

4. Построим график функции y=3sin(2x+3) при помощи растяжения графика y=sin(2x+3) в 3 раза от оси OX.

6. Построим график функции y=-3sin(2x+3) при помощи симметричного отображения графика функции y=3sin(2x+3) относительно оси OX

№82

Дана функция r=f(φ) на отрезке . Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая значения φ через промежуток , начиная от φ=0; 2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.

Решение

1. Составим таблицу

y	0
r	1,20	1,24	1,36	1,59	2,00	2,69	3,78	5,21	6,00
y
r	5,21	3,78	2,69	2,00	1,59	1,36	1,24	1,2

2. Найдем уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, учитывая, что

, rcosφ=x, rsinφ=y

Получим

Приведем уравнение к каноническому виду:

- каноническое уравнение эллипса с полуосями а= и b=, центр которого находится в точке ().

Ответ:

№92

Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

А)

Б)

В)

Г)

Решение

а)

Ответ:

б)

Ответ:

в)

Ответ:

г)

так как =e как второй замечательный предел.

Ответ: 4

№102

Заданы функция y=f(x) и два значения аргумента х₁ и х₂ требуется 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.

f(x)=, x₁=2, x₂=4.

Решение

Областью определения данной функции является область . Так как функция f(x) является элементарной функцией, то она непрерывна во всех точках области определения. Следовательно, в точке х₁=2 функция непрерывна, а точка х₂=4 является точкой разрыва, так как деление на ноль не определено.

2. Найдем пределы функции при приближении к точке х₂=4 слева и справа:

Следовательно, х₂=4 – точка разрыва 2- го рода.

2. Сделаем схематический чертеж, учитывая, что

Ответ: В точке х₁=2 функция непрерывна, а точка х₂=4 является точкой разрыва 2-го рода.

№112

Задана функцияy=f(x) различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Решение

Функция f(x) непрерывна на интервалах (-∞;0), (0;4) и (4;∞), так как задана на этих интервалах непрерывными элементарными функциями. Исследуем на непрерывность точки х=0 и х=4

1. х=0

f(0)=0+1=1

Следовательно х=0 – точка разрыва 1-го рода.

В точке х=0 функция делает скачок:

Δ=1-(-3)=4.

2. х=4

f(4)=4+1=5

Следовательно, в точке х=4 функция непрерывна. Сделаем чертеж:

Ответ: Функция непрерывна на интервалах (-∞;0), (0;+ ∞) ; точка х =0 является точкой разрыва 1-го рода.