Высшая математика Контрольная №3 Вариант №3
.doc№83
Выделив в заданной функции полный квадрат, получить уравнение параболы и построить ее график.
Решение:
- парабола с вершиной в точке (-2;-3).
- сдвиг влево на 2 ед. параболы
- растяжение в 2 раза вдоль оси Oy параболы
- сдвиг вниз на 3 ед. гр. Функции
№93
Дана функция на отрезке Требуется:
-
Построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая значения через промежуток
-
Найти каноническое уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная ось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить тип линии.
Решение:
Т.к. полярный радиус неотрицателен, т.е. то откуда заключаем что
Составим вспомогательную таблицу, придавая значения через промежуток , начиная от =0
1 |
0.924 |
0.707 |
0.383 |
0 |
-0.383 |
-0.383 |
0 |
0.383 |
0.707 |
0.924 |
1 |
|
0.8 |
0.84 |
0.97 |
1.27 |
2 |
4.70 |
4.70 |
2 |
1.27 |
0.97 |
0.84 |
0.8 |
При
Для построения кривой на луче, проведенном из полюса под углом , откладываем соответствующее значение полярного радиуса и соединяем полученные точки.
-
Найдем уравнение кривой в прямоугольной системе координат.
Для этого заменим и их выражениями через и по формулам Итак, получается:
Как видим полученное уравнение уравнение гиперболы.
№103
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
а)
б)
в)
Решение:
а) Разделим числитель и знаменатель на высшую степень x, т.е. на
б)
в)
Воспользуемся вторым замечательным пределом
Ответ: а) 2, б) , в)1.
№113.
Найти указанные пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.
-
, 2)
Решение:
1) = = = = =
= { при х 0 sinх} = = cosх · (1+cos2х) = =cos0 ·(1+ cos20) = 1·(1+12) = 2
2) = = = {пусть х-2= t, тогда х = 2+t, 3х- -5=3(2+t)-5=1+3t, х+3 = t+5, х2+1 = (2+t)2 +1 = t2+4t+5} = = {при t0 ln(1+t)t} =
= = {при t0 tgtt} = =
при
Ответ: 1) 2, 2) .
№123
Задана функция различными аналитическими выражениями для различных интервалов изменения аргумента. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и установить их тип. Сделать чертеж.
Решение:
Поскольку в точке - точка разрыва функции. Исследуем характер разрыва. Найдем односторонние пределы функции в точке .
Т.к. оба предела равны , то - точка разрыва второго рода.
Разрыв возможен также в точках и , в которых меняется аналитическое задание функции.
Найдем односторонние пределы функции в точке .
Т.к. то в точке функция является непрерывной.
Рассмотрим точку
Т.к. односторонние пределы конечны, но не равны между собой, то - точка разрыва первого рода.