Высшая математика часть 1. Контрольная работа №2. Вариант 4
.docУЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет заочного, вечернего и дистанционного обучения
Специальность: программное обеспечение
информационных технологий
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ № 2
Вариант № 4
2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Задание 54.
Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами:
1) методом Гаусса;
2) средствами матричного исчисления.
1) Решение методом Гаусса
При решении методом Гаусса используем расширенную матрицу:
=
С помощью элементарных преобразований приведём к треугольному виду:
−>
−> −>
Таким образом, ранги основной и рассматриваемой матриц равны 3, и поэтому система имеет единственное решение, и она сводится к системе:
=> =>
2) Решение средствами матричного исчисления
Найдём определитель системы:
Δ = + 1 * + 5 * = 2 * (10+13) + 1 * (25−39) + 5(−5−6) = 46 – 14 – 55 = −23
Так как определитель матрицы отличен от нуля, то решение найдём по формуле: X = * B
Найдём обратную матрицу , для этого найдём алгебраические дополнения с учётом того, что имеет вид:
= *
= = 23 = = 0 = = −23
= = 14 = = −5 = = −1
= = −11 = = −1 = = 9
Проверим правильность вычисления обратной матрицы, исходя из её определения:
* A = * * = *
= * = = E
Значит, матричная система имеет вид:
= * * = * = * =
Таким образом, = −4, = −2, = 2
Ответ: = −4, = −2, = 2
Задание 64.
Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.
Найдём ранг основной матрицы системы с помощью элементарных преобразований:
~ ~
Таким образом, = 2
Так как ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевые решения. Размерность пространства решений этой системы: n – r = 4 – 2 = 2
Преобразованная система имеет вид:
<=> <=>
<=>
Эти формулы дают общее решение. В векторном виде его можно записать следующим образом:
= = = * +
где , − произвольные числа
Вектор−столбцы:
= и =
образуют базис пространства решений данной системы.
Задание 74.
Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x1′′, x2′′, x3′′ через x1, x2, x3
Решение
Первое линейное преобразование:
= A * имеет матрицу А =
Второе:
= B * имеет матрицу В = (*)
Тогда если в (*) вместо В и поставить соответствующие матрицы, получим:
C = B * A , то есть
C = * =
Поэтому искомое линейное преобразование имеет вид:
= *
Задание 84.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
Составляем характеристическое уравнение матрицы:
= = 0
(5−λ) * + 7 * + 0 * = 0
(5−λ) (1−λ) (−3−λ) + 7 (−3) (−3−λ) = 0 (**)
(5−6λ+) (−3−λ) + 63 + 21λ = 0
−15 +18λ − 3 − 5λ + 6 − + 63 + 21λ = 0
48 + 34λ + 3 − = 0 <=> (**) (λ – 8) (λ + 2) (λ + 3) = 0
то есть = 8 , = −3 , = −2
При = 8 система имеет вид:
=>
Выразим через :
4 * (−7) + 6 = 11
−22 = 11 => = −0,5
Выразим через :
12 + 6*() = 11
84 − 18 = 77
66 = 77 => = 1
Таким образом, числу = 8 соответствует собственный вектор:
= = =
где − произвольное действительное число
Аналогично для = −3
<=> = = 0
Таким образом, числу = −3 соответствует собственный вектор
= = =
Наконец для = −2 решаем систему:
=>
то есть вектор
= = =
Итак, матрица А имеет три собственных значения: = 8 , = −3 , = −2. Соответствующие им собственные векторы (с точностью до постоянного множителя) равны:
=
=
=
Задача 94.
Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.
Левая часть уравнения представляет собой квадратичную форму с матрицей:
А =
Решаем характеристическое уравнение:
= 0 , то есть = 0
<=> (5−λ) (3−λ) = 8
− 8λ + 7 = 0
= 1 , = 7
Найдём собственные векторы из системы уравнений
при = 1 , = 7
Если = 1 , то:
=> =
Значит собственный вектор = для = 1
Если = 7 , то:
=> =
значит собственный вектор = для = 7
Нормируем собственные векторы, по правилу:
= , получаем:
=
=
Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому:
T =
Выполняя преобразования:
= T = * = =>
x = + , y = +
Подставим полученные x и y в исходное уравнение и полученное уравнение упростим:
5 + + 3 = 14
+ + 22 + = 14
+ 10 + 10 − 8 − 4 + 8 + 6 − 6 + 3 = 42
+ 21 = 42 =>
+ = 1 – каноническое уравнение эллипса