Контрольная работа3
.docxБЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра программного обеспечения информационных технологий
Факультет ФНиДО
Специальность ПОИТ
Контрольная работа № 3
по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
часть 1
Вариант № 6
Выполнил студент: Бондаренко С.В.
группа 191001
Зачетная книжка № 191001-6
Минск 2011
Введение в математический анализ
86. Выделив в заданной функции полный квадрат, получить уравнение параболы и построить её график.
Решение: Для выделения полного квадрата проведем следующие действия
.
В результате получили уравнение параболы с вершиной в точке (1; 5) и ветвями, направленными вниз. График параболы представлен ниже
96. Дана функция на отрезке . Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая φ значения через промежуток , начиная от φ = 0; 2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.
Решение: Определим значения функции с шагом :
φ = 0, r(φ) = 0,273; φ = , r(φ) = 0,285; φ = , r(φ) = 0,325;
φ = , r(φ) = 0,411; φ = , r(φ) = 0,6; φ = , r(φ) = 1,11;
φ = , r(φ) = 3,961; φ = , r(φ) = -5,522; φ = , r(φ) = -3;
φ = , r(φ) = -5,522; φ = , r(φ) = 3,961; φ = , r(φ) = 1,11;
φ = , r(φ) = 0,6; φ = , r(φ) = 0,411; φ = , r(φ) = 0,325;
φ = , r(φ) = 0,285; φ = , r(φ) = 0,273.
По полученным значениям строим график, представленный ниже
Для перехода к прямоугольной системе координат воспользуемся формулами:
Выражая rи cos(φ) через х и у, получаем
Подставляя в начальное выражение, получаем:
В результате преобразований имеем:
Получили каноническое уравнение гиперболы.
106. Найти указанные пределы не пользуясь правилом Лопиталя:
а)
б)
в)
Сделаем замену переменной , принимая во внимание, что. Тогда
116.Найти указанные пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.
а)
Произведем замену на бесконечно малые функции: при
В результате получаем
б)
Введём замену переменной , тогда при.
Преобразуем выражение:
126. Задана функция различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
Решение: Для определения точек разрыва найдем односторонние пределы в точках х1 = 0, х2 = 2.
Односторонние пределы в точке 0 равны, следовательноразрыва в данной точке нет. В точке 2 односторонние пределы не равны, но оба предела конечны.Следовательно, имеет место точка устранимого разрыва первого рода. Также в точке 3 функция не определена. Найдем односторонние пределы в этой точке
Можно сделать вывод, что в точке 3 существует разрыв второго рода.
График функции представлен ниже