Контрольная № 2

Задача 44:

 

Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить её тремя методами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления (с помощью обратной матрицы).

Решение:

1) Решить систему уравнений по формулам Крамера:

Составим матрицу коэффициентов (основную матрицу системы) и найдём её определитель:

Так как определитель отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Вычисляем определители

, , , которые составляем из матрицы коэффициентов путём поочерёдной замены каждого из столбцов на столбец правой части системы.

Далее по формулам Крамера вычисляем:

; .

Таким образом, система имеет единственное решение x₁ = -4, x₂ = -2, x₃ = 2.

2) При решении системы линейных уравнений методом Гаусса действия производятся над расширенной матрицей. Запишем матрицу коэффициентов системы А и расширенную матрицу системы В:

Вертикальной чертой мы отделили элементы матрицы системы от свободных членов системы. Определим ранги матрицы А и В.

Для этого проведём преобразования матрицы В:

1. Отнимем от элементов второй строки элементы третьей строки,

2. Первую строку умножим на (-1) и прибавим третью строку;

3. Вторую строку сложим с первой строкой, умноженной на (-2);

Третью строку сложим с первой строкой, умноженной на (-3);

4. Третью строку умножаем на 3, прибавляем к ней вторую.

Отсюда следует, что r(В)=3, минор третьего порядка матрицы А

Следовательно, r(B) = r(A) = 3, т.е. данная система совместна.

Но последняя преобразованная матрица В

- это расширенная матрица системы.

"Обратным ходом" метода Гаусса из последнего уравнения системы находим х₃ = 2; из второго х₂ = – 2; из первого х₁ = – 4.

Ответ:

3) Решение матричным методом:

Прежде всего, найдём матрицу А^-1, обратную матрице А.

Определитель основной матрицы системы:

.

Алгебраические дополнения всех элементов:

Отсюда

Тогда

Х = =

, и, следовательно х₁=-4; х₂=-2; х₃=2.

Задача 54:

Найти общее решение системы линейных уравнений.

Решение:

Для исследования совместности применим критерий Кронекера-Капелли. Для этого составим расширенную матрицу системы для определения её ранга и ранга матрицы коэффициентов:

1	-2	2	3	0		0
2	-3	1	0	4		1
3	-5	3	3	4		2

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1=

2

Вычитаемая строка :

2	-4	4	6	0		0

Модифицированная матрица :

1	-2	2	3	0		0
0	1	-3	-6	4		1
3	-5	3	3	4		2

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1=

3

Вычитаемая строка :

3	-6	6	9	0		0

Модифицированная матрица :

1	-2	2	3	0		0
0	1	-3	-6	4		1
0	1	-3	-6	4		2

Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2=

1

Вычитаемая строка :

0	1	-3	-6	4		1

Модифицированная матрица :

1	-2	2	3	0		0
0	1	-3	-6	4		1
0	0	0	0	0		1

Заданная система уравнений не имеет решений (противоречива) т.к. 3-я строка приводит нас к уравнению: 

0 =

1

что невозможно.

Задача 64: 

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

Решение:

Пусть есть столбец координат неизвестного собственного вектора, принадлежащего собственному значению . , т.е.

(1).

Эта система имеет ненулевые решения только при условии равенства нулю её определителя .

Составим характеристическое уравнение.

= = ;

Решим уравнение . Откуда получим: , , .

, , – собственные значение матрицы.

При система 1 примет вид.

,

Собственный является любой вектор вида: , .

При система 1 примет вид.

,

Собственный является любой вектор вида: , .

При система 1 примет вид.

,

Собственный является любой вектор вида: , .

Задача 74:.

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка и построить её в декартовой системе координат.

Решение.

Матрица квадратичной части многочлена второй степени равна

.

Собственными числами данной матрицы будут

.

Решим уравнение =0 получим: , .

Вид квадратичной формы:

4x²₁

Исходное уравнение определяет параболу (λ₂ = 0)

Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B.

λ₁ = 4

-2x₁-2y₁ = 0

-2x₁-2y₁ = 0

или

-2x₁-2y₁ = 0

Собственный вектор, отвечающий числу λ₁ = 4 при x₁ = 1:

В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:

или

Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ₂ = 0, находим из системы:

2x₁-2y₁ = 0

-2x₁ + 2y₁ = 0

или

2x₁-2y₁ = 0

или

Итак, имеем новый ортонормированный базис (i₁, j₁).

Переходим к новому базису:

или

Вносим выражения x и y в исходное уравнение 2x² - 4xy + 2y² - 8x + 8y + 1 и, после преобразований, получаем: