Контрольная № 1

Основы векторной алгебры и аналитической геометрии

Задача  4:

Даны четыре вектора , , и , заданные в прямоугольной декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение:

1) Найдём вектор 2-для этого умножим координаты вектора (3;-2;0) на 2 и от полученного вектора 2 = (6; -4;0) вычтем вектор (1; 1; -3). В результате вычитания получим 2-= (5; -5; 3).

Так как скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат, то

* (2 - ) = (-2) * 5 + 3 * (-5) + 4 * 3 = -13.

2) Векторное произведение двух векторов можно вычислить, используя формулу , где – координаты вектора , – координаты вектора .

По аналогии с пунктом 1 найдём вектор ( - 3) = (3 – 3 * (-2); (-2) – 3 * 3; 0 – 3 * 4) = (9; -11;-12).

Тогда векторное произведение * ( - 3) равно

= - + = (-12 – 33) - (-12 + 27) + (-11 – 9) = -45 - 15 - 20.

Окончательно получаем, что вектор, равный векторному произведению * ( - 3), имеет координаты (-45; -15; -20).

3) Как известно, базисом в пространстве являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов, заданных в прямоугольной декартовой системе координат, является равенство их смешанного произведения нулю. Отсюда находим:

(,,) =

то векторы , , некомпланарны. Следовательно, они образуют базис, в котором вектор является линейной комбинацией векторов , , : =. Числа , , будут координатами вектора в базисе , , . Найдем их.

Запишем равенство в координатном виде:

Решая её по формулам Крамера =, , находим:

,,,.

Следовательно, , , ,

т.е. =2-2-.

Задача 14:

Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) уравнение прямой ; 3) угол между рёбрами и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) площадь грани ; 8) объём пирамиды; 9) сделать чертёж.

;;;.

Решение:

1. Найдём длину ребра A₁A₂, численно равную расстоянию между точками А₁ и А₂, которое в прямоугольной декартовой системе координат вычисляется по формуле:

, где x₂, y₂, z₂ - координаты точки A₂; x₁, y₁, z₁ - координаты точки A₁. Таким образом, вычисляем:

2. уравнение прямой А₁А₂;

а) Как пересечение двух плоскостей А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄:

уравнение плоскости, проходящей через точки А₁, А₂, А₃:

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки

А₁(2,4,3), А₂(7,6,3), А₄(3,6,7):

уравнение плоскости, проходящей через точки А₁, А₂, А₄:

Общие уравнения прямой А₁А₂:

б) каноническое уравнение прямой А₁А₂:

,

– каноническое уравнение ребра А₁А₂

с) параметрическое уравнение прямой А₁А₂:

3. найдём угол между рёбрами А₁А₂ и А₁А_4.

, где – скалярное произведения векторов и .

Для этого найдём координаты и длину вектора :

= (5,2,0),

Для этого найдём координаты и длину вектора :

= (1,2,4),

Скалярное произведение векторов: и :

= 5*1 + 2*2 + 0*4 = 9.

Поэтому = , φ = arccos = π - arccos.

4. уравнение плоскости А₁А₂А₃;

Для составления уравнения плоскости А₁А₂А₃ воспользуемся формулой

, где x₀, y₀, z₀, - координаты точки А₁; x₁, y₁, z₁, - координаты точки А₂; x₂, y₂, z₂, - координаты точки А₃.

А₁(2,4,3), А₂(7,6,3), А₃(4,9,3):

уравнение плоскости, проходящей через точки А₁, А₂, А₃:

5. угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

Угол θ между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃ определяется по формуле:

, где - направляющий вектор прямой А₁А₄, то есть = А₁А₄, а – нормальный вектор плоскости А₁А₂А₃.

Из пункта 3 имеем = = (1,2,4), из пункта 4 получаем (0;0;1). Таким образом, .

Отсюда получаем, что .

6. уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой , где M₀(x₀, y₀, z₀) - точка, лежащая на искомой прямой; m, n, p - координаты направляющего вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки M₀ возьмём точку A₄(3;6;7), из которой по условию задачи должна быть опущена высота на плоскость А₁А₂А₃, а в качестве вектора возьмём нормальный вектор плоскости А₁А₂А₃ , т.е. (0;0;1). Имеем .

7. площадь грани А₁А₂А₃;

Площадь грани А₁А₂А₃ находим, используя геометрический смысл векторного произведения:

.

Находим векторное произведение векторов и :

=(0,0,21).

Находим площадь треугольника А₁А₂А₃:

8. объём пирамиды;

Объем пирамиды А₁А₂А₃A₄ численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , , которое находится по формуле .

Таким образом, , где = (5,2,0), = (2,5,0),

= (1,2,4). .

9. Сделаем чертёж:

А₄

М А₂

А₁ А₃

Задача 24. Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости .

Решение:

Нормальный вектор заданной плоскости (4,-5,-1) является направляющим для прямой, на которой находится искомая точка, и эта прямая проходит через точку М. Тогда

(x+1)/4=(y-2)/(-5)=(z-0)/(-1). Находим точку пересечения найденной прямой с заданной плоскостью, для чего записываем уравнение прямой в параметрическом виде.

x=-1+4t; y=2-5t; z=-t. Подставив в уравнение плоскости, получим:

4(-1+4t)-5(2-5t)-(-t)-7=0;

-4+16t-10+25t+t-7=0; 42t=21;

t=21/42;

t=1/2 => x=1; y=-0.5; z=-0.5 – это координаты точки пересечения (пусть это будет точка P).

Так как эта точка делит отрезок ММ’ пополам, то имеют место следующие соотношения  (Xм+Xм’)/2=Xр => (-1+Xм’)/2=1 => Xм’=3;

(Yм+Yм’)/2=Yр => (2+Yм’)/2=-0.5 => Yм’=-3;

(Zм+Zм’)/2=Zр => (0+Zм’)/2=-0.5 => Zм’=-1.

Таким образом, координаты искомой точки М’(3,-3,-1).

Задача 34. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке , чем к точке . Привести полученное уравнение к каноническому виду и указать тип линии, описываемой этим уравнением.

Каждая точка искомой прямой должна удовлетворять условию

с другой стороны, она должна также удовлетворять условию

следовательно, искомая прямая есть решение системы

Это каноническое уравнение эллипса. Полученный эллипс изображён на следующем рисунке.