Контрольная № 3

Задача 84: .

Выделив в заданной функции полный квадрат, получить уравнение параболы и построить её график.

Решение:

Выделив полный квадрат в заданной функции, получим

Теперь применим метод преобразования координат. Известно, что график функции f(x)+b получают путём переноса графика f(x) вверх вдоль оси OY на b; график функции f(x-c) получается параллельным переносом графика f(x) при с < 0 в положительном направлении оси ОХ на с; а график функции y = - f(x) симметрично отобразится относительно оси OX. Тогда график исходной функции можно построить, переместив вершину параболы y = x² в точку O’(3;8) и затем отобразив параболу симметрично относительно оси OX.

Задача  94: .

Задана функция на отрезке . Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая аргументу  значения через промежуток ; 2) найти каноническое уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить тип линии.

Решение:

1) построим график функции в полярной системе координат по точкам, давая  значения через промежуток /8, начиная от =0;

	2	3,24	6,83	26,27	─	26,27	6,83	3,24	2	1,45	1,17	1,04	1	1,04	1,17	1,45	2

2) найдём уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.

Из условия , с другой стороны, , отсюда ; но , следовательно,

Искомое уравнение – это уравнение параболы с вершиной в т. . График пересекает ось Х в т. и

Координаты т. С , т. , т.

Задача 104:1) ;2) ; 3) .

Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение:

1)

2)

3)

Задача 114:1) ;2) .

Найти указанные пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.

Решение:

1) Полагая . Имеем

2)

Задача 124:

 

Задана функция различными аналитическими выражениями для различных интервалов изменения аргумента. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и установить их тип. Сделать чертёж.

Решение:

Область определения функции f(x) – вся числовая ось . Разрывы возможны только в точках и , в которых изменяется аналитическое задание функции.

Найдем односторонние пределы в т. и значение функции в этой точке:

Т.к. в т. функции определена, конечные односторонние пределы существуют и не равны между собой, то т. - точка разрыва первого рода.

Найдём односторонние пределы в т. и значение функции в этой точке:

Т.к. в т. функции определена, конечные односторонние пределы существуют и не равны между собой, то т. х=2 - точка разрыва первого рода.