Добавил:

inrad Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Высшая математика

Файл:

К.р. №2 3 вариант

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2014

Размер:

3.13 Mб

Скачать

☆

Искуственный

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет непрерывного и дистанционного обучения

Специальность: Искусственный Интеллект

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Вариант № 8

Ф.И.О.

Группа

Зачетная книжка

Электронный адрес

Задание 48

Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить её тремя методами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления (с помощью обратной матрицы).

Решение.

1) Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Необходимым и достаточным условием совместности системы линейных уравнений является

Критерий Кронекера–Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы. Если же эти ранги не равны, то система несовместна.

Для этого составим расширенную матрицу системы для определения её ранга и ранга матрицы коэффициентов:

Находим ранг r расширенной матрицы:

3-ю строку умножим на 2 и сложим со 2 строкой:

1.2. 1-ю строку умножаем на 4 и складываем с 3-ей строкой:

1.3. умножаем 2-ю строку на (-3) и складываем с 3-ей:

Отсюда r = r = r(A) = 3.

Таким образом, в данной системе n = 3 линейных уравнений r = 3 зависимых переменных.

2) Решим систему уравнений по формулам Крамера, для этого составим матрицу коэффициентов (основную матрицу системы) и найдем её определитель:

= 1*3*3+(-1)*8(-1)+1*(-6)*(-4) – (-1)*3*(-4) – 1*8*3 – 1*(-6)*(-1) = -1 0

Так как определитель отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Вычисляем определители, заменяя поочередно столбцы основной матрицы свободными членами.

₁= = 8

₂= = 4

₃= = 13

Далее по формулам Крамера вычисляем:

X₁= X₂= X₃=

Таким образом, система имеет единственное решение X₁= -8, X₂= -4, X₃=-13.

3) Решим систему линейных уравнений методом Гаусса.

3.1. Составим расширенную матрицу системы:

3.2. Из пункта 1.3. она равнозначна матрице:

3.3.Таким образом, ранги основной и расширенной матриц равны 3. Система совместна и имеет единственное решение. Она сводится к эквивалентной системе линейных уравнений:

X₁– X₂+ X₃= 1

X₂=-4

-X₃= 13

Отсюда, подставляя X₂=-4 и X₃=-13, в первое уравнение, получим X₁=-8, Итак, X₁=-8, X₂=-4 X₃=-13.

4) Решим систему линейных уравнений матричным методом.

4.1. Определитель основной матрицы:

= 1*3*3+(-1)*8(-1)+1*(-6)*(-4)–(-1)*3*(-4)–1*8*3–1*(-6)* *(-1) = -1 0, значит, система совместна и для матрицы коэффициентов существует обратная матрица. Находим решение по формуле или

где алгебраические дополнения элементов матрицы А:

A = (-1)ⁱ⁺^k M,

где М – минор элемента a_ik

А₁₁= = 3*3 – (-6)*(-1)=3;А₂₁= =-2;А₃₁= =-3;

А₁₂= = 0;А₂₂= = -1;А₃₂= =-2;

А₁₃= = 4;А₂₃= =-3;А₃₃= = -5.

Таким образом, обратная матрица к основной матрице системы имеет вид.

А^-1 = -1

Значит, матричное решение системы имеет вид

Отсюда следует, что х₁ = 3*1 – 2*2 – 3*(-3) = -8

х₂ = 0*1 – 1*2 – 2*(-3) =-4

х₃ = 4*1 – 3*2 – 5*(-3) =-13

Ответ: х₁ = -8; х₂ =-4; х₃ =-13.

Задание 58

Найти общее решение системы линейных уравнений.

Решение.

Для исследования совместности применим критерий Кронекера-Капелли – для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы. Если же эти ранги не равны, то система несовместна.

Для этого составим расширенную матрицу системы для определения её ранга и ранга матрицы коэффициентов:

1. Найдем ранг r расширенной матрицы:

1.1. Сложим 2-ю строку умноженную на (-1) с 3-ей строкой:

1.2. 1-ю строку сложим с 3-ей строкой:

1.3. 1-ю строку умножим на (-2) и сложим со 2-ой строкой

1.4. Отсюда r = r= r(А) =2

Таким образом, в данной системе n = 5 линейных уравнений r = 2 зависимых и n – r = 3 независимых переменных. Перенося слагаемые с х₃, х₄, х₅ в правую часть (базисный минор образован коэффициентами при х₁, х₂), по последней матрице записываем систему

х₁ – 3х₂= 4 – х₃ – 2х₄

х₂= -1 – 2х₃ + 4х₄– 3х₅

х₁ =3 – 3х₃ +2х₄ – 3х₅

х₂= -1 – 2х₃ + 4х₄– 3х₅

Итак, общее решение неоднородной системы линейных уравнений

==++,

Отсюда следует, что вектора = (-3; -2; 1)^Т, (2; 4; 1)^Т, (-3; -3; 1)^Т являются решением однородной системы , а вектор = (3; -1; 0; 0; 0)^Т есть частное решение исходной системы . Обозначив произвольные константы х_3, х_4, х₅через с, d, k получим общее решение системы в виде+c+d

Ответ: общее решение исходной системы+c+d

Задание 68

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

Решение.

1) Составляем характеристическое уравнение матрицы А и находим его корни:

= = (-1 – (-1 – + +(-5)*(-1)*5 + (-7)*(-1)*1 – (-5)* (-1 – - (-7)*(-1)* - (-1 –*(-1)*5 =3

2) Найдем корни характеристического уравнения.

3 = (

Так как все корни оказались действительными числами, то они являются собственными значениями матрицы А.

3) При система имеет вид:

х₁ – 7х₂ – 5х₃ = 0 х₁ = -2х₃

-х₁+х₂ – х₃ = 0 х₂ = -х₃

х₁+5х₂+7х₃ =0

Значит, собственному значению соответствует собственный вектор

= = =

Здесь х₃ – произвольное действительное число, не равное нулю. Положив его, в частности, равным единице, получим собственный вектор в виде

= (-2,-1,1)^Т

4) Аналогично при система имеет вид:

-5х₁ – 7х₂ – 5х₃ = 0 х₁ = -х₃

-х₁ – 5х₂ – х₃ = 0 х₂ = 0

х₁+5х₂+х₃ =0

Значит, собственному значению соответствует собственный вектор

= = =

Здесь х₃ – произвольное действительное число, не равное нулю. Соответствующий собственный вектор имеет вид = (-1,0,1)^Т

5)Аналогично при система имеет вид:

-2х₁ – 7х₂ – 5х₃ = 0 х₁ = -х₂

-х₁ –2х₂ – х₃ = 0 х₃ = -х₂

х₁+5х₂+4х₃ =0

Значит, собственному значению соответствует собственный вектор

= = =.

Приняв х₂ =1, получим собственный вектор в виде = (-1,1,-1)^Т

Ответ: матрица А имеет три собственных значения , , , а соответствующие им собственные векторы имеют вид ===

Задание 78

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка и построить её в декартовой системе координат. .

Решение.

1) В уравнении заданной кривой присутствует квадратичная форма следующего вида:. Составим матрицу данной квадратичной формы А = и найдём её собственные значения: