контрольная №2
.docКонтрольная работа №2
Элементы линейной алгебры
Задачи 41-50. Даны две матрицы A и B. Требуется найти: 1); 2) A-1; 3) , где E - единичная матрица третьего порядка.
41. , .
1)
Ответ;
2) A-1 – матрица, обратная матрице А
Вычислим определитель матрицы А
Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы:
Матрица, присоединенная к матрице А имеет вид:
Ответ:
3) , где E - единичная матрица третьего порядка.
Ответ:
Задачи 51-60. Проверить, совместна ли система уравнений, и в случае совместности решить ее: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) с помощью обратной матрицы (матричным методом).
51.
Матрица А системы имеет вид:
Вычислим определитель матрицы А:
Следовательно, система совместна.
1)решим систему по формуле Крамера:
Ответ:
2)решим систему методом Гаусса:
Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, преобразуем ее:
Система принимает вид:
Ответ:
3)решим систему уравнений матричным методом.
Найдем . Для этого вычислим определитель системы
Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы:
Матрица, присоединенная к матрице А, имеет вид.
Ответ:
Задачи 61-70. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A.
61.
Для нахождения собственных значений матрицы А составим характеристическое уравнение:
Для нахождения собственного вектора, соответствующего найденному собственному значению, составим и решим систему уравнений.
Подставим в нее , получим:
Решим методом Гаусса:
Одно из решений имеет вид:
Таким образом, собственные векторы матрицы А имеют вид:
Ответ: ;
Задачи 71-80. Используя теорию квадратичных форм, привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить эту кривую.
71.
Рассмотрим квадратичную форму
Ее матрица имеет вид:
Приведем данную квадратичную форму к каноническому виду
Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид:
Найдем собственные векторы, соответствующие полученным собственным значениям. Координаты (s,t) этих векторов определяются из системы уравнения.
При имеем: При имеем:
Положив , получим:
) - собственные векторы
Пронормировав эти векторы, запишем их координаты в столбцы и составим матрицу В
Искомое ортогональное преобразование имеет вид:
Подставим эти выражения в формулу данного уравнения:
Выделим в левой части уравнения полные квадраты:
Новые координаты:
Получим уравнение вида:, которое определяется гиперболу с действительной осью О1Y.
Найдем координаты нового начала координат О1
O1(1;0)
Решим систему относительно x1 и y1:
В новой системе координат XOY уравнения осей гиперболы имеют вид Y=0, X=0, поэтому имеем:
- уравнение осей гиперболы в старой системе координат.