Министерство образования и науки РФ
Санкт-Петербургский государственный горный институт
(технический университет)
Кафедра Общей и технической физики
(лаборатория электромагнетизма)
Лабораторная работа №3
Изучение магнитного поля
(закон Био–Савара–Лапласа)
По дисциплине: Физика
(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)
Выполнил: студент гр. ГМ-10-1 __________ /Татко В.Д./
(подпись) (Ф.И.О.)
Проверил ассистент __________ /Быстров Д.С,/
(должность) (подпись) (Ф.И.О.)
Санкт – Петербург
2011
Цель работы: Измерение магнитных полей, создаваемых проводниками различных конфигураций. Экспериментальная проверка закона Био–Савара–Лапласа.
Магнитное поле прямолинейного проводника с током
Проводник, по которому протекает электрический ток, создает магнитное поле. Магнитное поле характеризуется вектором напряженности H (рис. 1), который можно вычислить по формуле
H = dH.
Cогласно закону Био-Савара-Лапласа,
,
где I – сила тока в проводнике, dl – вектор, имеющий длину элементарного отрезка проводника и направленный по направлению тока, r – радиус вектор, соединяющий элемент с рассматриваемой точкой P.
Р ассмотрим магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником с током конечной длины (рис. 2). Отдельные элементарные участки этого проводника создают поля dH, направленные в одну сторону (перпендикулярно плоскости чертежа), поэтому напряженность магнитного поля в точке P может быть найдена интегрированием:
Имеем l = roсtg, так что Кроме того, Поэтому
После интегрирования получим
, (1)
где ro – кратчайшее расстояние от точки P до проводника с током, 1 и 2 – углы между крайними элементами проводника и соответствующими радиус-векторами PA и PB.
Если определять напряженность в точках, расположенных на перпендикуляре, восстановленном к середине проводника, то cos2 = cos(180 – 1) = –cos1 и, следовательно,
(cos1 – cos2) = 2cos1 = . (2)
С учетом выражения (2) формулу (1) можно записать в виде
. (3)
Учитывая, что в настоящей работе длина проводника 2b много больше расстояния r0 от проводника до точки наблюдения магнитного поля, формулу (3) можно записать в виде
. (4)
Поэтому индукция магнитного поля рассчитывается по формуле:
, (5)
где 0 – магнитная постоянная, – магнитная проницаемость среды (для воздуха = 1)
2. Магнитное поле на оси короткой катушки с током
Проводник, по которому протекает электрический ток, создает магнитное поле которое характеризуется вектором напряженности H (рис. 3). Напряженность магнитного поля подчиняется принципу суперпозиции
а, согласно закону Био-Савара-Лапласа,
, (6)
где I – сила тока в проводнике, – вектор, имеющий длину элементарного отрезка проводника и направленный по направлению тока, r – радиус вектор, соединяющий элемент с рассматриваемой точкой P.
Одной из часто встречающихся конфигураций проводников с током является виток в виде кольца радиуса R (рис. 3, а). Магнитное поле такого тока в плоскости, проходящей через ось симметрии, имеет вид (см. рис. 3, б). Поле в целом должно иметь вращательную симметрию относительно оси z (рис. 3, б), а сами силовые линии должны быть симметричны относительно плоскости петли (плоскости xy). Поле в непосредственной близости от проводника будет напоминать поле вблизи длинного прямого провода, так как здесь влияние удаленных частей петли относительно невелико. На оси кругового тока поле направлено вдоль оси Z.
В ычислим напряженность магнитного поля на оси кольца в точке расположенной на расстоянии z от плоскости кольца.
По формуле (6) достаточно вычислить z-компоненту вектора :
. (7)
Интегрируя по всему кольцу, получим dl = 2R. Поскольку, согласно теореме Пифагора r2 = R2 + z2, то искомое поле в точке на оси по величине равно
. (8)
Направление вектора H может быть направлено по правилу правого винта.
В центре кольца z = 0 и формула (8) упрощается:
(9)
Нас интересует короткая катушка – цилиндрическая проволочная катушка, состоящая из N витков одинакового радиуса. Из-за осевой симметрии и в соответствии с принципом суперпозиции магнитное поле такой катушки на оси H представляет собой алгебраическую сумму полей отдельных витков Hi: . Таким образом, магнитное поле короткой катушки, содержащей Nк витков, в произвольной точке оси рассчитывается по формулам
, , (10)
где H – напряженность, B – индукция магнитного поля.