Само по себе создание бинарного дерева тривиально. В простейшем случае корневой узел бинарного дерева определяет все бинарное дерево.

var

MyBinaryTree : PtBinTreeNode;

Если MyBinaryTree равен nil, никакого бинарного дерева не существует, поэтому это значение служит начальным значением бинарного дерева.

{инициализировать бинарное дерево}

MyBinaryTree :=nil;

На практике принято использовать фиктивный узел, аналогичный фиктивному заглавному узлу односвязного списка, чтобы каждый реальный узел дерева, включая корневой, имел родительский узел. Корневой узел может быть как левым, так и правым дочерним узлом фиктивного узла, но для определенности примем, что он является левым.

Вставка и удаление с использованием бинарного дерева

Если мы всерьез намереваемся использовать бинарное дерево, необходимо рассмотреть, как выполняется добавление в дерево элементов (т.е. узлов), удаление элементов из дерева и посещение всех элементов дерева. Последняя операция позволит выполнять поиск конкретного элемента. Поскольку выполнение последних двух операций невозможно без рассмотрения первой, начнем с рассмотрения вставки узла в бинарное дерево.

Чтобы иметь возможность вставить узел в бинарное дерево, необходимо выбрать родительский узел, к которому можно присоединить новый узел в качестве дочернего, и более того, этот узел не может уже иметь два дочерних узла. Мы должны также знать, каким дочерним узлом - левым или правым - должен стать новый узел.

При заданном родительском узле и указании дочерних узлов слева направо код для вставки узла очень прост. Мы создаем узел, устанавливаем в качестве значения его поля данных элемент, который добавляем в дерево, и определяем обе его дочерние связи как nil. Затем, во многом подобно вставке узла в двусвязный список, мы устанавливаем соответствующий дочерний указатель родительского узла так, чтобы он указывал на новый дочерний узел, а родительский указатель дочернего узла - на родительский узел.

Обратите внимание, что класс бинарного дерева (составной частью которого является этот метод) использует диспетчер узлов для распределения и освобождения узлов. Поскольку все узлы имеют одинаковый размер, в этом заложен глубокий смысл.

А как выполняется удаление узлов? Эта задача несколько сложнее, поскольку узел может иметь один или два дочерних узла. Первое правило удаления может быть сформулировано следующим образом: листовой узел (т.е. не имеющий дочерних узлов) может быть удален без каких-либо нежелательных последствий. При этом мы выясняем, каким дочерним узлом родительского узла является лист, и устанавливаем соответствующую дочернюю связь равной nil. После этого узел может быть освобожден.

Второе правило удаления из бинарного дерева применяется в отношении случая, когда удаляемый узел имеет один дочерний узел. Эта задача также достаточно проста: мы просто перемещаем дочерний узел вверх по дереву, чтобы он стал тем же дочерним узлом родительского узла, каким является удаляемый узел.

Третье правило применяется к случаю, когда удаляемый узел имеет два дочерних узла. Как и можно было предположить, это правило звучит просто: узел не может быть удален. Попытка сделать это является ошибкой. Позже мы рассмотрим вариант бинарного дерева - дерево бинарного поиска, - который содержит достаточный объем дополнительной внедренной в дерево информации, чтобы можно было обойти это ограничение.

Перемещение по бинарному дереву

После того, как мы рассмотрели построение бинарного дерева, можно рассмотреть вопрос о том, как посетить все узлы такой структуры. Под посещением подразумевается выполнение той или иной обработки хранящегося в узле элемента. Такой обработкой могло бы быть как выполнение простой операции, подобной записи данных в узел, так и реализация более сложных действий.

В отличие от связных списков, где перемещение по структуре определено однозначно (достаточно следовать всем указателям Next (следующий), пока не будет достигнут конец списка), в бинарном дереве в каждом узле можно выбрать один из двух путей, и поэтому процесс несколько усложняется. Процедуру перемещения по дереву называют обходом (traversal). Существуют четыре основных алгоритма обхода - обходом в ширину (pre-order), симметричным обходом (in-order), обходом в глубину (post-order) и обходом по уровням (level-order). Последний алгоритм - обход по уровням - наиболее прост для визуального представления, но наиболее сложен для кодирования. Этот алгоритм предполагает посещение каждого из узлов, начиная с корневого, и просмотр узлов сверху вниз, уровень за уровнем. На каждом уровне мы посещаем узлы слева направо. Таким образом, мы посещаем корневой узел, левый дочерний узел корневого узла, правый дочерний узел корневого узла, левый дочерний узел левого дочернего узла корневого узла, правый дочерний узел левого дочернего узла корневого узла и т.д. Снова обратившись к рисунку 8.1, мы видим, что при обходе по уровням посещение узлов выполнялось бы в следующем порядке: d, b, f, а, с, е, g.

Обход по уровням

Мы еще не рассматривали обход по уровням, при котором вначале посещается корневой узел, затем слева направо посещаются два возможных узла на первом уровне, затем слева направо четыре возможных узла на втором уровне и т.д. Этот метод обхода кажется слишком сложным для кодирования, но в действительности он очень прост. Достаточно знать один прием. Он заключается в следующем применении очереди. Поместим корневой узел в очередь, и будем выполнять цикл до тех пор, пока очередь не опустеет. Удалим из очереди верхний узел. Посетим его. Если его левая дочерняя связь является ненулевой, поместим ее в очередь. Если правая дочерняя связь является ненулевой, поместим в очередь и ее. Если очередь не пуста, снова выполним цикл. Вот, собственно, и все.

Подобно методам нерекурсивного обхода, метод btLevelOrder должен вызываться только для дерева, которое является непустым.

Реализация класса бинарных деревьев

Как и в случае остальных уже рассмотренных структур данных, мы реализуем стандартное бинарное дерево в виде класса. Действительно, мы уже положили начало такому подходу, рассмотрев различные методы готового класса.

В идеале, как, например, это было сделано для связных списков, желательно освободить пользователя класса от необходимости разбираться в структуре узлов (это позволит нам впоследствии изменять их структуру, не причиняя неудобств пользователю класса). Но в случае использования обычных бинарных деревьев приходится предполагать наличие у пользователя определенных знаний о структуре узлов, которые позволяют ему вставить новый узел (пользователь должен сообщить классу дерева, какой узел является родительским, и каким дочерним узлом становится новый узел). Поэтому наша реализация будет "черным ящиком" не совсем в той степени, в какой хотелось бы.

Класс бинарного дерева будет поддерживать такие стандартные операции, как вставка и удаление. Кроме того, его метод Traverse будет поддерживать различные виды обхода. Одним из методов, который мог бы обеспечить определенные преимущества при решении задач, подобных синтаксическому анализу выражений, была бы операция объединения двух деревьев в новый корневой узел.

Как обычно при использовании структур данных, рассмотренных в этой книге, мы убеждаемся, что класс владеет содержащимися в нем данными и, следовательно, может их при необходимости освобождать, или же предполагаем, что обработка данных выполняется из какого-то другого места, и в этом случае дерево не будет освобождать какие-либо данные. Поэтому конструктор Create принимает параметр, определяющий процедуру удаления элемента данных. Если этот параметр является нулевым, дерево не владеет данными и, следовательно, не будет их удалять. Если параметр aDisposeltem является адресом процедуры, эта процедура будет вызываться в каждом случае, когда требуется освободить элемент.

Метод Create убеждается, что диспетчер узлов бинарного дерева активен, а затем выделяет фиктивный заглавный узел. Именно на месте левого дочернего узла этого узла находится корневой узел дерева. Метод Destroy убеждается, что дерево очищено (т.е. все узлы в дереве освобождены), а затем освобождает фиктивный заглавный узел.

Следующий метод, который мы рассмотрим - метод Clear. В данном случае требуется удалить все узлы дерева. Как упоминалось ранее, это выполняется за счет применения обхода всего дерева в глубину. В данном случае мы воспользовались нерекурсивным обходом, поскольку он выполняется быстрее.