Міністерство освіти Та НАУКИ України

Дніпропетровський Коледж Ракетно-Космічного Машинобудування Дніпропетровського Національного Університету ім. О. Гончара

Самоопрацювання

з фізики

студента гр.№13

Савушкина Дмитра

2011

Закон Кулона

Закон Кулона — один з основних законів електростатики, який визначає величину та напрямок сили взаємодії між двома нерухомими точковими зарядами. Експериментально з задовільною точністю був вперше доведенийГенрі Кавендішем у 1773, який використовував метод сферичного конденсатора, але його роботи не були опубліковані. В 1785 році закон був встановлений Шарлем Кулоном за допомогою спеціальних крутильних терезів.

Електростатична сила взаємодії F₁₂ двох точкових нерухомих зарядів q₁ та q₂ в вакуумі прямо пропорційна добутку абсолютних значень зарядів і обернено пропорційна квадрату відстані r₁₂ між ними.Сила взаємодії направлена вздовж прямої, що з'єднує заряди, причому однойменні заряди відштовхуються, а різнойменні притягуються. Сили, що визначаються законом Кулона адитивні.

Коефіціент пропорційності k має назву електростатичної сталої та залежить від вибору одиниць виміру. Так в Міжнародній системі одиниць СІ k=1/(4πε0) ≈ 8,            987742438      ·109 Н·м2·Кл-2, де   - електрична стала. В системіСГСГ одиниця вимірювання заряду обрана таким чином, що k=1.

Такі умови є необхідними для виконання сформульованого закону:

1. Точковість зарядів — відстань між зарядженими тілами має бути набагато більшою від розмірів тіл.

2. Нерухомість зарядів. В протилежному випадку потрібно враховувати магнітне поле заряду, що рухається.

В однорідному ізотропному середовищі сила взаємодії між зарядами зменшується в ε разів:  , де ε діелектрична проникність середовища.

Для макроскопічних відстаней при експериментах в земних умовах, що були проведені за методом Кавендіша, доведено що показник степеня r в законі Кулона не може відрізнятися від 2 більш ніж на 6·10^-16. Із експериментів зрозсіянню альфа-частинок виходить, що закон Кулона не порушується до відстаней 10^-14 м. Але з іншого боку, для опису взаємодії заряджених частинок на таких відстанях поняття, за допомогою яких формулюється закон (поняття сили, положення), втрачають сенс. У цій області просторових масштабів діють закони квантової механіки.

Закон Кулона можна вважати одним з наслідків квантової електродинаміки, в рамках якої взаємодія заряджених часток обумовлена обміном фотонами. Внаслідок цього, експерименти з перевірки висновків квантової електродинаміки можна вважати дослідами з перевірки закону Кулона. Так, експерименти з анігіляції електронів та позитронів свідчать, що відхилення від законів квантової електродинаміки не спостерігаються до відстаней 10^-18 м.

Питання

1. Закон Кулона – це..

2. Що визначає цей закон ?

3. Ким він був вперше доведений ?

4. У якому році він був вперше доведений ?

5. У якому році він був доведений Кулоном ?

6. Що таке точковість зарядів ?

7. Про що говорить метод Кавендіша ?

8. До якої відстані закон кулона не порушується ?

9. Що таке фотони ?

10. Що таке анігіляція електронів (позитронів) ?

Задачі

Пример 1.

Расстояние между двумя жестко закрепленными точечными зарядами +3Q и - Q равно a = 0,20 м. На каком расстоянии от заряда нужно поместить третий заряд +Q, чтобы он находился в равновесии?

Решение

Свяжем с линией, соединяющей заряды, ось x, начало O которой совместим с первым зарядом (см. рисунок). Можно на оси выделить три области 1, 2 и 3.

Из качественных соображений, очевидно, что в областях 1 и 2 равновесие заряда +Q не возможно. Можно надеяться только в области 3 , т.е. при x > a, найти такую точку расположения заряда +Q, в которой равнодействующая всех сил, действующих на этот заряд, будет равняться нулю.

Используя условия равновесия сил, находим

откуда следует квадратное уравнение , корни которого

Из двух значений оправдан только корень со знаком плюс. Следовательно, имеем x₁ = 2,36a, так как для него x > a. Таким образом, x₁ = 0,472 м или в точке, отстоящей на 0,27 м вправо от второго заряда.

Пример 2.

В вершинах квадрата находятся положительные одинаковые заряды Q по 3,3 10^-9 Кл. Какой отрицательный заряд Qx нужно поместить в центр квадрата для того, чтобы вся система зарядов находилась в равновесии?

Решение

Каждый из зарядов в вершинах квадратов находится в эквивалентных условиях, поэтому достаточно рассмотреть равновесие лишь одного (любого) заряда. Введем как промежуточный параметр сторону квадрата a.

На любой из 4-х зарядов со стороны других трех зарядов действуют силы отталкивания, равнодействующая которых направлена по диагонали квадрата в сторону от центра. Значение этой силы

Сила притяжения к заряду Qx составит . Для равновесного положения любого из зарядов Q необходимо равенство этих сил, откуда следует, что

; Qx = -3,2 10-9 Кл.

Полезно отметить, что длина а стороны квадрата никакой роли при этом не играет.

Пример 3.

Два точечных одинаковых по знаку и модулю заряда Q₁ = Q₂ = Q жестко закреплены на расстоянии l друг от друга. На линии, соединяющей заряды в точке между зарядами, находится третий точечный заряд q противоположного знака. Материальный носитель этого заряда имеет массу m и имеет возможность без трения двигаться вдоль линии, соединяющей заряды Q₁ и Q₂ (конструктивно заряд q можно представить как однородно заряженный диэлектрический шар с диаметральным отверстием, через которое проходит прочная диэлектрическая нить, связывающая заряды Q₁ и Q₂.

Свяжем с линией, соединяющей заряды Q₁, Q₂ и q ось x; начало оси x совместим с равновесным положением заряда q, т.е. с серединой отрезка l. Покажите, что если вывести заряд q из положения равновесия, т.е. отклонить на расстояние x << l / 2 от положения равновесия и предоставить далее самому себе, он будет совершать гармонические колебания. Какова частота таких колебаний?

Решение

При отклонении на x > 0 от положения равновесия заряда q на него будет действовать возвращающая сила

Под действием этой силы движения материального носителя заряда q будет описываться динамическим уравнением классической механики

или

Эти уравнения суть дифференциального уравнения одномерного классического гармонического осциллятора. Решение уравнения есть гармоническая функция

,

где A и - постоянные интегрирования (находятся из начальных условий), а - собственная частота гармонических колебаний;

Взаимодействие точечного заряда с равномерно распределенным

Пример 4.

Отрезок тонкой проволоки или диэлектрической нити длиной l сообщен заряд Q и придана форма дуги окружности радиуса R. В центре O этой окружности помещен точечный заряд q. Найдите силу взаимодействия заряженной дуги и точечного заряда q.

Решение

Разбиваем дугу на множество квазиточечных элементов длиной dl, на каждом из которых сосредоточен квазиточечный заряд ( - линейная плотность заряда).

Из середины произвольного элемента dl в точку O проводим радиус-вектор r (см. рисунок), | r | = R и . Тогда по закону Кулона сила dF взаимодействия точечных зарядов q и будет равна .

Для определения F_x и F_y необходимо просуммировать (интегрировать) элементарные вклады dF_x и dF_y

Здесь существенным является то обстоятельство, что в математической физике является алгебраической величиной, т.е. характеризуемой модулем и знаком. Принято считать, что углы, отсчитываемые (например, от оси x, как на рисунке) по ходу часовой стрелки - отрицательные, против хода - положительные. Направление обхода при интегрировании выбираем против хода часовой стрелки (на рисунке показано линией со стрелкой).

Тогда имеем при таком соглашении, что и . Получаем окончательный результат

Учтено, что sin - нечетная функция, а cos - четная функция. Приведенные соотношения являются ответами к задаче.

Проанализируем частные случаи:

1) Если (полуокружность), то и , F_y = 0;

2) Если ; (окружность), то F_x = F_y = 0.

Пример 5.

Тонкий жесткий диэлектрический диск радиуса R заряжен равномерно зарядом Q с поверхностной плотностью заряда. На оси х диска на расстоянии а от центра диска находится точечный заряд q. Определите силу взаимодействия этого заряда с заряженным диском.

Решение

Разобьем диск на соосные концентрические кольца радиусов r < R и шириной dr. Площадь любого из таких колец равна , поэтому кольцо несет заряд . Элементарная сила взаимодействия заряженного кольца с точечным зарядом q равна

Далее интегрируем это выражение по r в пределах от 0 до R и получаем ответ

Проанализируем частные случаи:

1) Пусть а << R, что соответствует представлению диска как бесконечно протяженной равномерно заряженной тонкой пластины. Тогда,

Это важный результат, пригодный для решения многих модельных задач.

2) Если a >> R, то заряженный диск подобен точечному заряду . Из формулы ответа, используя формулы приближенных вычислений R/a << 1, сразу получаем . Это и есть закон Кулона.

Пример 6.

На продолжении тонкого диэлектрического стержня (нити) длиной l₁, несущего заряд Q₁, равномерно распределенный по длине с линейной плотностью ₁ = Q₁/l₁, расположен точечный заряд Q₂ на расстоянии b от одного из концов стержня. Определите силу взаимодействия стержня и заряда.

Решение

Разбиваем стержень на множество элементов длиной dx каждый. На каждом таком элементе находится квазиточечный заряд , который действует на заряд Q₂ с элементарной силой .

Векторы этих сил dF_2x направлены вдоль оси x и будут силами отталкивания, если заряды Q₁ и Q₂ одного знака. Результирующая сила направлена вдоль оси x, и ее значение найдется суммированием всех dF_2x, т. е.

Для интегрирования введем новую переменную y = l₁ + b - x, так что dx = dy и пределы интегрирования: при x = 0, y = l₁ + b, при x = l₁; y = b. Таким образом, получаем окончательный результат

Пример 7.

Плоский конденсатор представляет собою две тонкие протяженные металлические пластины 1 и 2 расположенные параллельно друг другу. Пластины заряжены равномерно одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами с поверхностными плотностями , и, следовательно, притягиваются друг к другу. Определите силу давления p на пластины.

Решение

На квазиточечный заряд , расположенный на элементарной поверхности площадью dS₂ 2-й пластины, действует со стороны 1-ой пластины элементарная сила . Сила давления на 2-ю пластину равна, следовательно,

Силы давления на обе пластины одинаковы по модулю, но противоположны по знаку. Для реальных конденсаторов сила давления может оказаться столь большой, что диэлектрик с проницаемостью , заполняющей пространство между обкладками конденсатора, будет механически разрушен.