Учебники, методички / Ряды. Кратные интегралы. Теория поля / t11

\section*{‹ҐЄжЁп 11.}

Џ«®й ¤м Ї®ўҐае­®бвЁ. Џ®ўҐае­®бв­л© Ё­вҐЈа « ЇҐаў®Ј® த , ҐЈ®
бў®©бвў , ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© Ё дЁ§ЁзҐбЄЁ© б¬лб«. ‚лзЁб«Ґ­ЁҐ
Ї®ўҐае­®бв­®Ј® Ё­вҐЈа «  ЇҐаў®Ј® த .\\ ‚®§¬®¦­®бвм ᢥ¤Ґ­Ёп
¤ў®©­®Ј® Ё­вҐЈа «  Є ЄаЁў®«Ё­Ґ©­®¬г Ё¬ҐҐв  ­ «®Ј Ё ¤«п ва®©­®Ј®
Ё­вҐЈа « . „«п Ї®«г祭Ёп ᮮ⢥вбвўгойЁе д®а¬г« вॡгҐвбп ¤ вм
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп Ё­вҐЈа «®ў Ї® Ї®ўҐае­®бвп¬. Љ Є Ё ЇаҐ¦¤Ґ ­ з­Ґ¬ б
§ ¤ ­Ёп ®Ў« бвЁ Ё­вҐЈаЁа®ў ­Ёп. Џа®б⥩訩 бЇ®б®Ў ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм
Ї®ўҐае­®бвм ў $\mathbb{R}^3$ б®бв®Ёв ў ҐҐ Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®¬ § ¤ ­ЁЁ.
Џ а ¬ҐваЁзҐбЄ®© Ї®ўҐае­®бвмо ў $\mathbb{R}^3$ ­ §лў ов ¬­®¦Ґбвў®
в®зҐЄ
$$\Gamma=\{r(u,v)=\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr)\in\mathbb{R}^3\
|\ (u,v)\in T\},\eqno (1)$$ Ј¤Ґ $T\in\mathcal{T}_2$, $x,y,z\in
C^1(\widehat{T})$ -- ­ҐЇаҐалў­лҐ ­  $T\subset\mathbb{R}^2$
дг­ЄжЁЁ. Ѓг¤Ґ¬ ЇаҐ¤Ї®« Ј вм, зв® а §­л¬ §­ зҐ­Ёп¬ Ї а ¬Ґва®ў
$(u,v)\in \widehat{T}$ ᮮ⢥вбвўгов а §­лҐ в®зЄЁ
$\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr)$ Ї®ўҐае­®бвЁ $\Gamma$. ’®зЄг
$(x,y,z)=\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr)$ ­ §®ўҐ¬ Ја ­Ёз­®©
в®зЄ®© $\Gamma$, Ґб«Ё $(u,v)$ -- Ја ­Ёз­ п в®зЄ  $T$. Ћбв «м­лҐ
в®зЄЁ $\Gamma$ ­ §®ўҐ¬ ў­гв७­Ё¬Ё. Џгбвм $f(\cdot)\in C(\Gamma)$
-- ­ҐЇаҐалў­®Ґ ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ, ЇаЁ­Ё¬ о饥 ¤Ґ©б⢨⥫м­лҐ §­ зҐ­Ёп ­ 
$\Gamma$. Џ®б«Ґ¤­ҐҐ гб«®ўЁҐ, ў з бв­®бвЁ, ®§­ з Ґв, зв® ў дг­ЄжЁо
ваҐе ЇҐаҐ¬Ґ­­ле $f(x,y,z)$ ў Є зҐб⢥  аЈг¬Ґ­в®ў $(x,y,z)$ ¬®¦­®
Ї®¤бв ўЁвм в®зЄЁ Ї®ўҐае­®бвЁ $\Gamma$ Ё ®Ўа §®ў вм б«®¦­го дг­ЄжЁо
$f\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr)$ ЇҐаҐ¬Ґ­­ле $(u,v)\in T$. Џ®
⥮६Ґ ® ­ҐЇаҐалў­®бвЁ б«®¦­®© дг­ЄжЁЁ в Є п дг­ЄжЁп Ўг¤Ґв
­ҐЇаҐалў­®© ­  $T$. Џ®  ­ «®ЈЁЁ б ЄаЁў®«Ё­Ґ©­л¬Ё Ё­вҐЈа « ¬Ё
Ї®ўҐае­®бв­лҐ Ё­вҐЈа «л ®в дг­ЄжЁЁ $f$ Ї® $\Gamma$ ®ЇаҐ¤Ґ«пов ЇаЁ
¤®Ї®«­ЁвҐ«м­®¬ ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­ЁЁ ® ­Ґўл஦¤Ґ­­®бвЁ Ї®ўҐае­®бвЁ.
Џ а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ ЄаЁў®© ­ §лў «®бм ­Ґўл஦¤Ґ­­л¬,
Ґб«Ё Є б вҐ«м­л© ўҐЄв®а ­Ґ ЇаҐўа й «бп ў ­г«Ґў®© ўҐЄв®а ў®
ў­гв७­Ёе в®зЄ е ЄаЁў®©. ’®з­® в Є¦Ґ Ё ¤«п Ї®ўҐае­®б⥩ ўЁ¤  (1).
ЌҐ ў¤ ў пбм ў ¤Ґв «Ё, ўбпЄго в Єго Ї®ўҐае­®бвм ¬®¦­® ў®бЇаЁ­Ё¬ вм,
Є Є ®ЎкҐ¤Ё­Ґ­ЁҐ Ї® $v_0$ "ЄаЁўле"
$$\gamma(v_0)=\{\bigl(x(u,v_0),y(u,v_0),z(u,v_0)\bigr)\in\mathbb{R}^3\
|\ (u,v_0)\in T\}.$$ Љ ¦¤ п Ё§ ­Ёе ў бў®Ёе ў­гв७­Ёе в®зЄ е
®Ў« ¤ Ґв Є б вҐ«м­л¬ ўҐЄв®а®¬, б®бв ў«Ґ­­л¬ Ё§ з бв­ле Їа®Ё§ў®¤­ле
$$\left(\frac{\partial x(u,v_0)}{\partial u},\frac{\partial
y(u,v_0)}{\partial u}, \frac{\partial z(u,v_0)}{\partial
u}\right).$$ ќв®в ўҐЄв®а ў в®зЄҐ $(u_0,v_0)\in \widehat{T}$ Ўг¤Ґ¬
®Ў®§­ з вм $r_u(u_0,v_0)=
\bigl(x_u(u_0,v_0),y_u(u_0,v_0),z_u(u_0,v_0)\bigr)$. ’®з­® в Є¦Ґ
Ї®ўҐае­®бвм (1) ¬®¦­® ў®бЇаЁ­Ё¬ вм, Є Є ®ЎкҐ¤Ё­Ґ­ЁҐ Ї® $u_0$
"ЄаЁўле" $$\gamma(u_0)=\{\bigl(x(u_0,v),y(u_0,v),z(u_0,v)\bigr)
\in\mathbb{R}^3\ |\ (u_0,v)\in T\}.$$ Љ ¦¤ п Ё§ ­Ёе ў бў®Ёе
ў­гв७­Ёе в®зЄ е ®Ў« ¤ Ґв Є б вҐ«м­л¬ ўҐЄв®а®¬, б®бв ў«Ґ­­л¬ Ё§
з бв­ле Їа®Ё§ў®¤­ле $$\left(\frac{\partial x(u_0,v)}{\partial
v},\frac{\partial y(u_0,v)}{\partial v}, \frac{\partial
z(u_0,v)}{\partial v}\right).$$ ќв®в ўҐЄв®а ў в®зЄҐ $(u_0,v_0)\in
\widehat{T}$ Ўг¤Ґ¬ ®Ў®§­ з вм $r_v(u_0,v_0)=
\bigl(x_v(u_0,v_0),y_v(u_0,v_0),z_v(u_0,v_0)\bigr)$. Ѓг¤Ґ¬
Ј®ў®аЁвм, зв® Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ Ї®ўҐае­®бвЁ (1)
­Ґўл஦¤Ґ­®, Ґб«Ё ўҐЄв®а  $r_u(u_0,v_0)$ Ё $r_v(u_0,v_0)$ ў Є ¦¤®©
ў­гв७­Ґ© в®зЄҐ $(u_0,v_0)\in \widehat{T}$ «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬л. ‚
вҐа¬Ё­ е ўҐЄв®а­®Ј® Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп нв® гб«®ўЁҐ ¬®¦Ґв Ўлвм § ЇЁб ­®
Є Є $[r_u,r_v]\ne 0$ (­Ґ гЄ §лў п пў­®  аЈг¬Ґ­в $(u_0,v_0)$,
$$[r_u,r_v]={\rm det}\begin{vmatrix}i& j& k\\x_u& y_u& z_u\\x_v&
y_v& z_v\end{vmatrix}=(A,B,C),\quad A={\rm det}\begin{vmatrix}
y_u& z_u\\y_v& z_v\end{vmatrix},\quad B=-{\rm det}\begin{vmatrix}
x_u& z_u\\x_v& z_v\end{vmatrix},\quad C={\rm det}\begin{vmatrix}
x_u& y_u\\x_v& y_v\end{vmatrix}$$ -- Ё§ўҐбв­®Ґ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ ¤«п
Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп ўҐЄв®а®ў $r_u$ Ё $r_v$). Џ®бЄ®«мЄг ¬л ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґ¬
«Ё­Ґ©­го ­Ґ§ ўЁбЁ¬®бвм ўҐЄв®а®ў $r_u(u_0,v_0)$ Ё $r_v(u_0,v_0)$,
в® нвЁ ўҐЄв®а  ®ЇаҐ¤Ґ«пов Ї«®бЄ®бвм (­ §лў Ґ¬го Є б вҐ«м­®©
Ї«®бЄ®бвмо Є Ї®ўҐае­®бвЁ $(1)$ ў в®зЄҐ $r(u_0,v_0)$),
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ Є®в®а®© Ё¬ҐҐв ўЁ¤ ($x=x(u_0,v_0)$,
$x_u=x_u(u_0,v_0)$ Ё в.¤.): $$X(s,t)=x+s\cdot x_u+t\cdot x_v,\quad
Y(s,t)=y+s\cdot y_u+t\cdot y_v,\quad Z(s,t)=z+s\cdot z_u+t\cdot
z_v,\quad s,t\in\mathbb{R}.$$ ‚ ўҐЄв®а­®¬ ўЁ¤Ґ нв® ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ
¬®¦­® § ЇЁб вм Є Є $$R(s,t)=r(u_0,v_0)+ s\cdot r_u(u_0,v_0)+t\cdot
r_v(u_0,v_0),\quad s,t\in\mathbb{R}.$$ ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Є б вҐ«м­ п
Ї«®бЄ®бвм Є Ї®ўҐае­®бвЁ $\Gamma$ ў в®зЄҐ $r(u_0,v_0)$ -- нв® в Є п
Ї«®бЄ®бвм, Є®в®а п ЇҐаЇҐ­¤ЁЄг«па­  ўҐЄв®аг $[r_u(u_0,v_0),
r_v(u_0,v_0)]$ Ё Їа®е®¤Ёв зҐаҐ§ в®зЄг $r(u_0,v_0)$. ЏаЁ н⮬
ўҐЄв®а­®Ґ Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ $[r_u(u_0,v_0), r_v(u_0,v_0)]$ ­®бЁв
­ §ў ­ЁҐ ­®а¬ «Ё Є Ї®ўҐае­®бвЁ $\Gamma$ ў в®зЄҐ $r(u_0,v_0)$.

Џ®ўҐае­®бв­л¬ Ё­вҐЈа «®¬ ЇҐаў®Ј® த  ¤«п дг­ЄжЁЁ $f$ ­ §лў ов
$$\int_{\Gamma}f(x,y,z)\,dS=
\int_{T}f\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr)
\sqrt{A^2(u,v)+B^2(u,v)+C^2(u,v)}\,du\,dv.\eqno (2)$$ — бв® нв®в
Ё­вҐЈа « § ЇЁблў ов в Є¦Ґ ў ўЁ¤Ґ $$\int_{\Gamma}f(x,y,z)\,dS=
\int_{T}f\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr)
\sqrt{E(u,v)G(u,v)-F^2(u,v)}\,du\,dv,\eqno (2')$$ Ј¤Ґ $E=r_u\cdot
r_u$, $G=r_v\cdot r_v$, $F=r_u\cdot r_v$ -- бЄ «па­лҐ Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп
ўҐЄв®а®ў. ”®а¬г«  $(2')$ Ї®«гз Ґвбп Ё§ д®а¬г«л (2) ба ў­Ґ­ЁҐ¬
Ї®¤Є®аҐ­­ле ўла ¦Ґ­Ё©.

Љ Є Ё ¤«п ЄаЁў®«Ё­Ґ©­ле Ё­вҐЈа «®ў, ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ (2) ­Ґ § ўЁбЁв ®в
ўлЎ®а  Ї а ¬ҐваЁ§ жЁЁ Ї®ўҐае­®бвЁ (1). ’ Є¦Ґ ­Ґ § ўЁбЁв ®в
Ї а ¬ҐваЁ§ жЁЁ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ Є б вҐ«м­®© Ї«®бЄ®бвЁ Ё, Є Є б«Ґ¤бвўЁҐ,
­ Їа ў«Ґ­ЁҐ Їап¬ле, ЇҐаЇҐ­¤ЁЄг«па­ле нв®© Ї«®бЄ®бвЁ.

‚ б«гз Ґ Є®Ј¤  $f(x,y,z)=1$ ¤«п ўбҐе $(x,y,z)\in\Gamma$,
Ї®ўҐае­®бв­л© Ё­вҐЈа « ЇҐаў®Ј® த  ®в $f$ ­ §лў ов Ї«®й ¤мо
Ї®ўҐае­®бвЁ $\Gamma$: $$S(\Gamma)=\int_{\Gamma}\,dS=\int_{T}
\sqrt{A^2+B^2+C^2}\,du\,dv=\int_{T} \sqrt{EG-F^2}\,du\,dv=
\int_{T} \bigl|[r_u,r_v]\bigr|\,du\,dv.\eqno (3)$$

ђ бЇа®бва ­Ґ­ЁҐ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп (2) ­  Ў®«ҐҐ б«®¦­лҐ ¬­®¦Ґбвў 
Їа®Ё§ў®¤Ёвбп Ї®  ­ «®ЈЁЁ б ЄаЁў®«Ё­Ґ©­л¬Ё Ё­вҐЈа « ¬Ё. …б«Ё
Ё¬ҐҐвбп Є®­Ґз­®Ґ зЁб«® Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ § ¤ ­­ле Ї®ўҐае­®б⥩
а бᬮв७­®Ј® ўЁ¤ , ЇаЁзҐ¬ Є ¦¤ п Ї а  Ё§ нвЁе Ї®ўҐае­®б⥩ ­Ґ
Ё¬ҐҐв ®ЎйЁе ў­гв७­Ёе в®зҐЄ, в® Ї®ўҐае­®бв­л© Ё­вҐЈа « ЇҐаў®Ј®
த  Ї® ®ЎкҐ¤Ё­Ґ­Ёо в ЄЁе Ї®ўҐае­®б⥩ ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп Є Є б㬬 
$$\int_{\cup_{i=1}^n\Gamma_i}f(x,y,z)\,dS=\sum_{i=1}^n
\int_{\Gamma_i} f(x,y,z)\,dS,\qquad f\in
C(\cup_{i=1}^n\Gamma_i).\eqno (2'')$$ —в®Ўл б®Єа вЁвм ®Ў®§­ зҐ­Ёп,
ў ¤ «м­Ґ©иҐ¬ Є« бб Ї®ўҐае­®б⥩, ¤«п Є®в®але ў®§¬®¦­® в Є®Ґ
а §¤Ґ«Ґ­ЁҐ ­  з бвЁ, Ўг¤Ґ¬ ®Ў®§­ з вм $\mathcal{B}_3$.

‘ў®©бвў  Ї®ўҐае­®бв­ле Ё­вҐЈа «®ў ЇҐаў®Ј® த  б®ўЇ ¤ ов б®
бў®©бвў ¬Ё ЄаЁў®«Ё­Ґ©­ле Ё­вҐЈа «®ў ЇҐаў®Ј® த :\\  )
 ¤¤ЁвЁў­®бвм (Ї® ®Ў« бвЁ Ё­вҐЈаЁа®ў ­Ёп): Їгбвм Ї®ўҐае­®бвЁ
$\Gamma_1$, $\Gamma_2\in \mathcal{B}_3$ ­Ґ Ё¬Ґов ®ЎйЁе
"ў­гв७­Ёе" в®зҐЄ. ’®Ј¤  $$\int_{\Gamma_1\cup\,\Gamma_2}
f\,dS=\int_{\Gamma_1} f\,dS+\int_{\Gamma_2} f\,dS,\quad f\in
C(\Gamma_1\cup\,\Gamma_2),$$ Ў) «Ё­Ґ©­®бвм (Ї® Ё­вҐЈаЁа㥬л¬
дг­ЄжЁп¬):  Ґб«Ё $\Gamma\in \mathcal{B}_3$, $\ f_1,f_2\in
C(\Gamma)$, $a,b\in\mathbb{R}$, в®
$$\int_{\Gamma}(af_1+bf_2)\,dS=a
\int_{\Gamma}f_1\,dS+b\int_{\Gamma}f_2\,dS,$$ ў) Ї®«®¦ЁвҐ«м­®бвм
(Ї® Ё­вҐЈаЁагҐ¬л¬ дг­ЄжЁп¬): Їгбвм $\Gamma\in \mathcal{B}_3$, $\
f_1,f_2\in C(\Gamma)$. ’®Ј¤  $$\int_{\Gamma}f_1\,dS\leqslant
\int_{\Gamma}f_2\,dS,$$ Ґб«Ё $f_1(M)\leqslant f_2(M)$ ЇаЁ Є ¦¤®¬
$M\in\Gamma$.\\ „®Є § вҐ«мбвў  1)-3) Ї®«­®бвмо Ё¤Ґ­вЁз­л б奬Ґ
¤®Є § вҐ«мб⢠ᮮ⢥вбвўгойЁе бў®©бвў ЄаЁў®«Ё­Ґ©­ле Ё­вҐЈа «®ў
ЇҐаў®Ј® த .

—в®Ўл Ј®ў®аЁвм ® ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄ®¬ Ё«Ё дЁ§ЁзҐбЄ®¬ б¬лб«Ґ
Ї®ўҐае­®бв­®Ј® Ё­вҐЈа « , б«Ґ¤гҐв ¤ ў вм Ё­®Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ нв®Ј®
Ё­вҐЈа «  -- Є Є ЇаҐ¤Ґ«  ᮮ⢥вбвўгойЁе Ё­вҐЈа «м­ле б㬬.
Џ®бЄ®«мЄг ¬л ®ЇаҐ¤Ґ«Ё«Ё нв®в Ё­вҐЈа « д®а¬ «м­®, в® в Є¦Ґ
®ЇаҐ¤Ґ«Ё¬ ҐЈ® ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© Ё дЁ§ЁзҐбЄЁ© б¬лб«. ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ©
б¬лб« Ї®ўҐае­®бв­®Ј® Ё­вҐЈа «  б®бв®Ёв ў ⮬, зв® Ї«®й ¤м
Ї®ўҐае­®бвм $\Gamma$ ў Їа®бва ­б⢥ $\mathbb{R}^3$ § ¤ Ґвбп
д®а¬г«®© (3). ”Ё§ЁзҐбЄЁ© б¬лб« нв®Ј® Ё­вҐЈа «  § Є«оз Ґвбп ў ⮬,
зв® ўбҐў®§¬®¦­лҐ е а ЄвҐаЁбвЁЄЁ в ЄЁе дЁ§ЁзҐбЄЁе ⥫ Є Є
Ї®ўҐае­®бвЁ ў $\mathbb{R}^3$ ®ЇаҐ¤Ґ«повбп ў вҐа¬Ё­ е
Ї®ўҐае­®бв­®Ј® Ё­вҐЈа «  ЇҐаў®Ј® த . Љ ­Ё¬ ®в­®бпвбп ¬ бб 
дЁ§ЁзҐбЄ®© Ї®ўҐае­®бвЁ, ҐҐ ¬®¬Ґ­вл Ё­ҐажЁЁ, Є®®а¤Ё­ вл 業ва 
в殮бвЁ Ё в.¤. ’ Є, ­ ЇаЁ¬Ґа, ¬ бб  ¬ вҐаЁ «м­®© Ї®ўҐае­®бвЁ
$\Phi$ б Ї®ўҐае­®бв­®© Ї«®в­®бвмо $\varrho(x,y,z)$, § ўЁбп饩 ®в
в®зЄЁ $(x,y,z)\in\Phi$, ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп Є Є $$\int_{\Phi}
\varrho(x,y,z)\,dS.$$