_____________7_________________________________________

Конечная аддитивность меры Жордана. Мера графика непрерывной функции и спрямляемой кривой.

Св-во 5(конечная аддитивность меры Жордана).

X=U[i=1..n](X_i), X_iX_j=0, X_i – измеримы => m(X)=∑[i=1..n](m(X_i))

Д-во: X=AB; AB=; ^*(AB)^*(A)+^*(B) => (AB)(A)+(B); S_k(A)S_k(B)S_k(AB); AB= => Sk(A)Sk(B)= => (S_k(A))+(S_k(B))=(S_k(A)S_k(B))(S_k(AB))(AB), k; => (A)+(B)(AB)

Теор.1. KR, K – компакт; fC(K); Г={x,f(x)}Rⁿ⁺¹ => _n+1(Г)=0

Д-во: n=1, K=[a,b]

>0, , <, x-y< => f(x)-f(y)<

kN, 1/10^k<; S_k(Г), =1/10^k; S_k()<h; h(f,)+2 =>(S_k())h=((f,)+)

3; m(S_k(Г))3(b-a+2)/=3 (b-a+2)0 => *(Г)=0; (Г)=0

a b

Теор.2. Г – cпрямляемая кривая, ГR² => m(Г)=0.

Д-во:

Г = {r(t), atb}; Г=l – длина Г; mN, Г=U[i=1..m](Г_i),

Г_i=l/m; Г_i={r(t), t_i-1tt_i} i=1,…,m;

Q_i=Q(r(t),2l/m); Г_iQ_i => T=U[i=1..m](Q_i);

^*(Г)[i=1..n]((Q_i))=m(2l/m)²=4l²/m0, m;

^*(Г)=0 =>(Г)=0

Сл.1. Г – кусочно-гладкая кривая => (Г)=0

Сл.2. G – область, G – кусочно-гладкая => G – измеримое.

_______________8_______________________________________

Определение интегрируемой по Риману функции. Критерий интегрируемости в терминах сумм Дарбу.

Опр. X – измеримо, X  Rⁿ; x_i} – разбиение X, если X=U[1..n](X_i); (X_iX_j)=0, ij; X_i – измеримы;  ={_i}₁^ - оснащение; _iX_i; f на X;

(f,,)=[i=1..p](f(_i)(X_i) – сумма Римана; d_i=sup[a,bX_i]((a,b)), ()=max(d_i) – мелкость разбиения; f – интегрируема по Риману на X если  конечный lim_()0((f,,))=I; >0 : ()<  (f,,)-I<;

_Xf(x)dx=I=…_Xf(x₁,…,x_n)dx₁…dx₂; R(x) – интегрируемые функции;

Опр.: f – огр на X, ={x_i}, m_i=inf_Xif(x), M_i=sup_Xif(x);

s_=[n=1..]m_i(X_i) – нижняя сумма Дарбу;

S_=[n=1..]M_i(X_i) – верхняя сумма Дарбу.

Теор.: fR(x)  f – огр., lim_()0(S_-s_)=0  [i=1..]((f_i,X_i(X_i)))_{()0)}0

Теор.: K – компакт, fС(K), KRⁿ fR(K).

Замечание. К – компакт, KRⁿ, EK, (E)=0, fC(K\E) fR(K).

_________________9_____________________________________

Свойства кратных интегралов.

1. Если Х- измеримое множество, то ∫_хdx=X.

2. Если X и Y- измеримые мн-ва, XY, ф-ция огр. и интегрируема на мн-ве Y, то она интегрируема и на мн-ве X.

3. (аддитивность ∫ по мн-вам). Если X- измеримое мн-во, ={X_j}_j=1^j=j - его разбиение, функция f определена и ограничена на множестве X, а ее сужения на Х_j интегрируемы на X_j , j=1,2,…,j_ , то f интегр. на X и: ∫_Xf(x)dx= ∑_j=1^J∫_Xj f(x)dx.

4. (линейность ∫). Если ф-ция f_i интегр. на мн-ве Х, то для любых чисел _i , i=1,2…m, ф-ция ∑_i=1^m _if_i(x) также интегр. на Х и: ∫_X∑_i=1^m_if_i(x)dx= ∑_i=1^m_i∫_Xf_i(x)dx.

5. Если ф-ции f и g инт. и огран. на мн-ве Х, то и их пр-е fg. Если inf_Xg(x) > 0, то и отношение f/g интегрируемы на этом мн-ве.

6. (интегр. неравенств). Если f и g инт. на мн-ве Х, и для всех xX выполняется f(x)g(x), то ∫_Xf(x)dx∫_Xg(x)dx.

Следствие. Если X и Y измеримые мн-ва, XY, ф-ция f0 и интегр. на Y, то

∫_Xf(x)dx∫_yf(x)dx.

7. Если ф-ция f интегр. на Х, то и f интегр. на нем, причем: ∫_Xf(x)dx∫_Xf(x)dx.

8. Если f интегр. и неотрицательна на измеримом открытом мн-ве G, x⁽⁰⁾G, ф-ция f непр. в т. x⁽⁰⁾ и f(x⁽⁰⁾)>0, то ∫_Gf(x)dx>0.

9. Если f огр. и интегр. на мн-ве X, X_kX, X_k – измеримые мн-ва, k=1,2…, и lim[k]X_k=X , то lim[k]∫_Xkf(x)dx=∫_Xf(x)dx.

Д-во: ф-ция f – огран   c>0: f(x)<c. Поэтому ∫_Xf(x)dx-∫_Xkf(x)dx=^{по 3}= ∫[X\X_k] f(x)dx^{по 7} ∫[X\X_k] f(x)dx ^{по 6} ∫[X/X_k] dx=c(X\X_k)=

c(X-X_k)^{по усл.}0.

10. ] f,g- огр. и интегр. на мн-ве X.Если g не меняет знака на Х и mf(x)M, xX, то  такое число , mM, что ∫_Xf(x)g(x)dx=∫_Xg(x)dx.

__________________10___________________________________

Сведение кратного интеграла к повторному. _d

Теор: _c

p=[a,b]x[c,d] ‡ fR(p) ‡ x[a,b] ‡ _{a b}

]  I(x)=_c^df(x,y)dy  I(x)R[a,b] ‡ _Pf(x,y)dxdy =

= _a^bI(x)dx =_a^b­(_с^df(x,y)dy)dx = _a^bdx_c^df(x,y)dy

Док: ₁ – разб [a,b] ‡ a=x₀<x₁<…<x_n=b ‡ i = 1…n

₂ – разб [c,d] ‡ c=y₀<y₁<…<y_m=d ‡ j = 1…m

ij=x_i-1 x x_i ‡ y_i-1 y y_i  ‡ M_ij = sup_{(x,y)ij} f(x,y) ‡ m_ij = inf_{(x,y)ij} f(x,y) ‡

(x,y)ij  m_ij  f(x,y)  M_ij ‡ m_ijy_j  _Yj-1^Yj f(x,y)dy  M_ijy_j ‡

 по j: _j=1^m m_ijy_j  _c^df(x,y)dy ( =I(y)_i )  _j=1^m M_ijy_j ‡ xx_i  y_ix_i ‡

x_i_j=1^mm_ijy_j  I(y_i)x_i  x_i_j=1^m M_ijy_j ‡

 по i: x_iy_j = | ij | ‡ s_ = _i=1ⁿ_j=1^m m_ij|ij|  _i=1^m I(_i)x_i  _{1in & 1jm} M_ij

|_ij| = S_ ‡ s_(f,)  (I,,)  S_(f,) ‡ ] (₁), (₂)  0  ()  0

_Pf(x,y)dxdy = _a^b I(x)dx

Зам. fR(p) ‡ y  J(y) = _a^b f(x,y)dx  JR[c,d]  _P f(x,y)dxdy = _c^d J(y)dy =

= _c^d dy_a^b f(x,y)dx

След. (x), (x)  C[a,b] ‡ G = { x,y; (x)y(x) } _{d (x)}

f(x,y)R(G) ‡ ] x  I(x)= _(x)^(x) f(x,y)dy  I(x)R[a,b] G

_Gf(x,y)dxdy = _a^bI(x)dx = _a^bdx_(x)^(x) f(x,y)dy ^{c (x)}

Док. G  P = [a,b]x[c,d] ‡ ^{a x b}

f₁(x,y) = f(x,y); (x,y)G  f₁R(G) |  f₁R(P)

0 ; (x,y)P\G  f₁R(P\G) |

_c^d f₁(x,y)dy = _c^(x) (=0) + _(x)^(x) + _(x)^d (=0) = I(x)

Применим теорему, которая была для прямоугольника:

_P f₁(x,y)dxdy = _a^bdx_c^d f₁(x,y)dy  _G f(x,y)dxdy = _a^bdx_(x)^(x) f(x,y)dy

] n=3 E={ (x,y,z) : (x,y)z(x,y) }

(рис: 3-х мерная фигура в R³, проекция на xy-E_xy ‡ на OX проекцируется в отрезок [a,b] ‡ Y-коорд. проекции E_xy измен. от ₁(x) до ₁(x) )

,  C[E_xy] ‡ f(x,y,z), fR(E) ‡

 (x,y)E_xy  _(x,y)^(x,y) f(x,y,z)dz  _E f(x,y,z)dxdydz = _Exydxdy_(x,y)^(x,y) f(x,y,z)dz = _a^b_{ 1(x)}^1(x)dy_(x,y)^(x,y) f(x,y,z)dz

Но это не удинств. способ.

] x  _Ex f(x,y,z)dydz  _E f(x,y,z)dxdydz = _a^bdx_Ex f(x,y,z)dydz

] f(x,y,z)  1  _Exf(x,y,z)dydz = _Exdydz = ₂(E_x) – площадь попер. сечения

_Edxdydz = ₃(E) ‡ ₃(E) – объем = _a^b ₂(Ex)dx