28____________________________________________________

Коэффициенты Фурье.

Опр: X – пр-во со скалярным произведением

!!!!!Z-это прописная латинская L‡‡‡‡

{e_n}- OHC, xX , {(x,e_n)}–коэф. Фурье ве-ра x

в сист. {e_n}‡‡‡ R³ x^*=(x,e₁)e₁+(x,e₂)e₂; y(e₁,e₂)-

линейная оболоч.;║x-x^*║║x-y║‡‡‡‡‡

Лемма 1. (т-ма Пифагора) x=y+z, yx║x║²=║x║²+║z║²‡‡‡Д-во: ║x║²=

=(x,x)=(y+z,y+z)=(y,y)+(y,z)+(z,y)+(z,z)=║y║²+║z║²‡‡‡‡Лемма 2. {e_i}ⁿ _i=1 – ОНС; xX, x^*= ⁿ _i=1 (x,e_i)e_i; h=x-x_*, L=Z(e₁,...e_n)hL; Д-во: (h,e_i)=(x- ⁿ _i=1 (x,e_j )e_j,e_i )=(x,e_i )- ⁿ _i=1 (x, e_j)(e_j,e_i)=(x,e_i)-(x,e_i)=0 ‡(h,  ⁿ _i=1 c_je_j)= ⁿ _i=1 c_j (h,e_j)= =0hL‡‡‡‡Лемма 3.( экстрем св-во коэф Фурье) {e_i}–ОНС; L=Z(e₁,...en) yL :║x-x^*║║x-y║;║x-x^*║=║x-y║y=x^*‡‡Д-во: h=x-x^* x=h+x^*, hL; ] yLx-y=x^*+h-y=h+(x^*-y)‡ (x^*-y)Lh(x^*-y) ; Т-ма Пифагора:

║x-y║²=║h║²+║x^*-y║²=║x-x^*║²+║x^*-y║²║x-x^*║²; ║x-y║²=║x-x^*║²

║x^*-y║=0x^*=y; ║x-x^*║=inf_yL║x-y║; x^* - эл-нт наилуч. приближ. ве-ра x в подпр-ве L‡‡‡Лемма 4. 1) {e_i}_iⁿ -OC; x=e₁+...+e_n║x║²+...+║en║² ‡

2) ] {e_i}ⁿ_i=1 - ОНС, x=₁e₁++_ne_n║x║²=₁²+...+_n²‡Д-во: 1)(x,x)=

=( ⁿ _i=1 e_i ,ⁿ_i=1 e_j )=_1i,jn (e_j,e_i)=ⁿ_i=1 (e_i,e_j)=ⁿ_i=1 ║e_i║² ‡2){ _i e_i} –ОС;

║_ie_i║² = i² по 1) ║x║² =₁ⁿ ║_ie_i║²=₁ⁿ _i² ‡‡‡

Т-ма (неравенство Бесселя)

{e_i} ⁿ _i=1 – ОHС, xX  ⁿ _i=1 (e_i,x) ²║x║²‡Д-во: x^*=ⁿ_i=1 (e_i,x)e_i, x=x^*+h, hL=Z(e₁,...e_n); {e₁,...e_n,h}- ОС;‡‡ x= ⁿ _i=1 (x,e_i)e_i+h║x║²= ⁿ _i=1 (x,e_i)²+ ║h║² ⁿ _i=1 (x,e_i) ² ‡‡Замечание: ║x║²= ⁿ _i=1 ( x,e_i)²x=x^* ‡‡{e_i} ⁿ _i=1 - ОС x= ⁿ _i=1 _ie_i+h, he_i , i=1..n, (x,e_i)=  ⁿ _i=1 _i(e_i,e_j)+(h,e_j)=j (ei,ej)

j=(x,ej)/(ej,ej) ‡‡‡Опр. {e_i} – ОС, xX {(x,ei)/(ei,ei)}- коэф. Фурье x в системе {e_i};

Нер-во Бесселя x= ⁿ _i=1 _ie_i+h, h Z(e₁,...e_n)‡║x║²= ⁿ _i=1_i²║e_i║²+║h║² ‡ ║x║² ⁿ _i=1_i²║e_i║²‡║x║² ⁿ _i=1 [(x,e_i)² /║e_i║²] ‡‡‡

Пример: C[-,] , над C ; {e^ikx}_kZ- ОС, fC[-,]

c_k=(f, e ^ikx )/(e ^ikx,e ^ikx )=0.5 _-^ f(x)e^-ikx dx ‡  ⁿ _k=-n c_k² 2-_^ f(x)²dx;

 ⁿ _k=-n c_k² [1/2] -_^f(x)²dx  _k=-^c_k² [1/2] -_^f(x) ²dx.

Коэф. Фурье {a₀/2, a₁,b₁,..,a_k, b_k...}; (a₀²/4)2+ ⁿ _k=1 a_k²+b_k

-_^ f(x)²dx; a₀²/2+ ⁿ _k=1 a_k²+b_k[1/]-_^ f(x)²dx;‡

c_k=[0.5] -_^ f(x) e^-ikx dx=[1/] -_^ f(x) (cos kx- isin kx)/2 dx = 0.5(a_k-i b_k) при k0 (при k=0: b₀=0); k<0 c_k=0.5(a_k + i b_k).

____________________________________________________27_

Гильбертовы пространства.

X – лин. пр-во над R, в X определено скалярное произведение XXR‡

1) (x,y)=(y,x) x,y; 2) (x+y,z)=(x,z)+(y,z) ; 3) (x,x)0, (x,x)=0  x=0‡‡‡

X над C, XXC‡1`) (x,y)=(y,x); 2`) (x,y)(x,x)(y,y) –нер-во Коши-Боняковского;  x,y X ║x║=(x,x);‡‡След. ║x+y║║x║+║y║‡Д-во: ║x+y║²=(x+y,x+y)= ║x║²+(y,x)+(x,y)+ ║y║²║x║²+2║x║║y║+║y║²= (║x║+║y║)²‡‡‡

Опр. X- пр-во со скалярным произведением 1)Если dim X<+, X над R, X- Евклидово; 2) Если dim X<+, X над C, X- Унитарное; 3) Если dim X=+, X- предгильбертово (вещест. или комплексное); 4)Если dim X=+, X полное, X- гильбертово; ‡‡‡Пр1. Rⁿ, (x,y)=(₁ⁿ) x_iy_i- евклидово; 2) Cⁿ, (x,y)=(₁ⁿ) x_iy_i- унитарное; 3)L² над R: (x,y)=(₁^) x_iy_i-гильберотово; ‡‡‡

Опр. ] X – пр-во со скалярным произведением 1) (x,y)=0 , то xy 2){x_i}_iI - (Ортог. Система), если (x_i,x_j)=0  ij 3) {e_i} _iI - (ОHС), если ║e_i║=1

(e_i,e_j)=_ij={1,i=j или 0, ij}‡‡Замечание: x_i0: Если {x_i}ОС{x_i}–лин. независ.Д-во: ] C_i1x_i1+...+C_inx_in=0, C₁(x_i1,x_i1)+...+C_n(x_in,x_in,)=0, C₁=...=C_n=0 Тригонометрическая система:C[-j,j], R {1, sin(/j*nx), cos(/j*nx)} – ОС {1/2j, 1/j sin(/j*nx), 1/j cos(/j*nx)} – OHC‡‡‡C[-,],R {1, sin nx, cos nx}, nN–ОС _-^ sin nx sin mx dx={0, nm или , n=m}‡ _-^ cos nx cos mx dx= ={0, nm или , n=m}‡ _-^ 1dx=2; {1/(2), sin(nx/), cos(nx/)}– ОНС‡‡‡

‡Ортогонализация: {_n}- лин. независ. Построим {_n} ОС ₁=₁; ₂=₂-

-(₁,₂)₁; _n=_n- ^n-1 _k=1 (_n,_k)_k; {_n/║_n║}–ОНС ‡‡‡‡‡‡

Мн-ны Лесандра. С[-1,1] 1,x, x²,...,xⁿ – лин незав. P₀=1, P_n (x)=((x² -1)ⁿ )⁽ⁿ⁾ *

*[1/(2n!)], P_n(1)=1, ‡ P₁(x)=((x² -1) ) =1/2*2x=x; P₂(x)=0.5 (3x² -1), Deg P_n=n, ] m<n, P_nP_m,m<n  P_nx^k k<n

(x²-1)ⁿ -1,1 – корни, кратные n(x²-1)^(m)_1=0 при m<n ;

] k<n _-1 ¹ x^k((x² –1) ⁿ )⁽ⁿ⁾ dx=x^k((x² –1)ⁿ )^(n-1) ¹_-1_-1¹ (x^k) ((x² –1)ⁿ)^(n-1) dx‡

P_nP_k, n<>k, _-1¹ P_n²(x) dx=2/(2n+1)‡ {P_n(x)}-ОС в C[-1,1] ;

{([(2n+1)/2] P_n(x)}- ОНС‡‡‡‡‡Прим5:A: XX над R; A(x+y)=Аx+Ay, (Ax,y)=(x,Ay), x,yX; A- симметричный Au=u, Av=v, u0,v0;u,v-собственные вектора‡] uv; ,-собств. числа;‡ (u,v)= (u,v)= (Au,v)= (u,Av)= (u,v)=(u,v); (u,v)(-)=0^{(-)0}(u,v)=0;‡‡‡

Следствие: A- симметр. Оператор {n}_n=1^ - собственные числа; _n_n, nm

‡u_n – собств. Ве-ра  {u_n} ОС в X.