- •X[a,b], Un(X)r [1..]Un(X) – сход. Равномерно на х, Un c[a,b] x0[a,b] [1..]x0xUn(t)dt – сход. Равномерно на [a,b]
- •Конечная аддитивность меры Жордана. Мера графика непрерывной функции и спрямляемой кривой.
- •Криволинейные интегралы 2-го рода, свойства.
- •Длина кривой на поверхности.
- •Опр.2: Если м0- не особая т. То пл-ть s: m0s , s||ru ,rv . Касательный вектор к непр. Диффер. Кривой проходящей через м0, лежит в касат. Пл-ти.
- •Ориентация поверхности. Поверхностный интеграл 1-го рода.
- •Соленоидальные векторные поля.
- •Геометрическое определение ротора
- •Коэффициенты Фурье.
- •Гильбертовы пространства.
- •Ряд Фурье. Лемма о непрерывности скалярн. Произведения.
- •Формулы Бореля
- •Теорема Котельникова.(теорема отсчетов)
______________________12_______________________________
Криволинейные интегралы 2-го рода, свойства.
При изучении физических полей часто встречаются интегралы вида:
Гadr=ГPdx+Qdy+Rdz, где a=(P,Q,R)-векторное поле на кривой Г, а dr=(dx,dy,dz). Сформулируем определение интегралов такого вида. Пусть Г –
гладкая ориентированная кривая, r=r(s)=(x(s),y(s),z(s)), 0sS, - ее векторное представление, в котором за параметр s взята переменная длина дуги, и, следовательно, A=(x(0),y(0),z(0))-начальная, а B=(x(S),y(S),z(S))-конечная точки кривой Г. Пусть = dr/ds=(dx/ds,dy/ds,dz/ds) (1) -единичный касательный вектор к кривой Г, направление которого соответствует выбранному отсчету длин дуг. Если вектор образует с координатными осями углы ,и , то = (cos , cos , cos ) (2). Из (1) и (2) следует cos =dx/ds,cos =dy/ds…
Пусть на кривой Г задано векторное поле a=a(x,y,z), точнее a=a(x(s), y(s),z(s)), 0sS. Обозначим координаты вектора a через P,Q,R: a=(P,Q,R) (ясно, что P,Q и R также являются функциями точки кривой Г).
Определение: Криволинейным интегралом второго рода от векторной функции a=(P,Q,R) по кривой AB называется интеграл ABads (1).
Этот криволинейный интеграл обозначается ABadr. Таким образом
ABads=defABadr. Из этого определения видно, что криволинейный интеграл второго рода сводится к криволинейному интегралу первого рода специального вида. Интеграл ABadr обозначается также ABPdx+Qdy+Rdz, где под знаком интеграла написано в координатной форме скалярное произведение векторов a=(P,Q,R) и dr=(dx,dy,dz). Также ABPdx+Qdy+Rdz= (Pcos +Qcos + R cos )ds.
Свойства: 1) Если функция a=a(x,y,z) непрерывна на кривой AB (т.е. ее координаты P,Q,R непрерывны на кривой Г как функции ее параметра), то интеграл ABdr существует. Док-во: В силу непрерывной дифференцируемости кривой AB и непрерывности на ней функций P,Q и R подынтегральная функция в криволинейном интеграле первого рода, стоящем в правой части равенства (1), является непрерывной, а , этот интеграл существует.
2) При изменении ориентации кривой криволинейный интеграл второго рода меняет только знак: BAadr = - ABadr
3) Если AB – гладкая ориентированная кривая, r=r(t)=((t),(t),(t)), atb, - ее векторное представление, то ABadr=abar’dt
____________________11_________________________________
Криволинейные интегралы первого рода.
] Г={M(s); 0sS}- кривая в R3 (в частности в R2), M(s)=(x(s),y(s),z(s)),s- переменная длина дуги, ] задана числовая ф-ция F(x,y,z), (x,y,z)Г. M(0)=A, M(S)=B, 0sS АB- дуга.
Опр.: криволинейным ∫ 1-го рода от ф-ции F по кривой АВ наз. ∫ : ∫АВF(x(s),y(s),z(s))ds. Этот ∫ обозначается ∫АВF(x,y,z)ds. Таким образом, ∫АВF(x,y,z)ds=∫0S F(x(s),y(s),z(s))ds.
Св-ва:
1. Если F непр. на кривой АВ (т.е. ф-ция F(x(s),y(s),z(s)) непрерывна на отрезке [0,S]), то ∫АВFds - .
2. Кр. ∫ не зависит от ориентации кривой: ∫АВFds=∫ВАFds
Д-во: M=M(s), 0sS s*-длина дуги отсчитываемая от В, s*=S-s, ds*=-ds, а так как s=S-s*, то M=M(S-s*)=(x(S-s*),y(S-s*),z(S-s*)), 0s*S. Поэтому ∫ВАF(x,y,z)ds=∫0SF(x(S-s*),y(S-s*),z(S-s*))ds*=-∫S0 F(x(s),y(s),z(s))ds=∫0S F(x(s), y(s), z(s))= ∫АВFds.
3. ] кривая Г – гладкая, заданная : x=(t), y=(t), z=(t). В этом случае переменная длина дуги s=s(t) может быть принята за параметр: Г={x(s),y(s),z(s)}, и таким образом:
x(s(t))=(t), y(s(t))=(t), z(s(t))=(t), atb. (*)
Тогда имеет место формула: ∫ГFds=∫ab Fs'dt=∫ab F((t), (t), (t) (['(t)]2+ ['(t)]2+ ['(t)]2)dt.
Д-во:
∫ГFds=∫0S F(x(s),y(s),z(s))= * =∫abF((t),(t),(t))s'(t)=
s=s(t); s'(t)= (['(t)]2+ ['(t)]2+ ['(t)]2)
= ∫ab Fs'dt=∫ab F((t), (t), (t) (['(t)]2+ ['(t)]2+ ['(t)]2)dt.
__________________________14___________________________
Замена переменных в двойном интеграле.
с d a b f(x); вз/одн. С ` [c,d]
(t) (c)=a; (d)=b
ab f(x)dx=cd f((t))`(t)dt
‡‡‡
G, D- огр. обл.; G, D- кусоч. гладкая. v y
F=( x(u,v), y(u,v) ); x,y= C1(D); F
F- вз/одн.;
J= (x,y) = x`u x`v 0 в D u x
(u,v) y`u y`v
‡Теор. fC(G)G f(x,y)dxdy=D f(x(u,v),y(u,v))| (x,y) / (u,v)|dudv‡
Док. D={u(t),v(t), atb} (x)
G={x(u(t),v(t)),y(u(t),v(t)),
atb } (x)
x(u,v)C2(D)‡‡G f(x,y)dxdy=
P(x,y)=(x)y f(x,y)dz , cxd , (x)y(x), =1, D- ориен. “+”
-1, D-ориен. “-”
=G Py`dxdy=ф-ла Грина=-D Pdx=-ab P xt` dt=- ab P(xu`ut`+xv`vt`)dt=
=-D Pxu`du+Pxv`dv=ф-ла Грина=-D (Pxv`)u`-(Pxu`)v` dudv=
=-D [ (Px`xu`+Py`yu`)xv`+Pxvu``-(Px`xv`+Py`yv`)xu`+Pyuv``]dudv=
=-D Py` (xv`yu`-xu`yv`)dudv=D f(x,y) J dudv=D f(x,y) [ (x,y) / (u,v) ] dudv‡‡‡‡
] f1 0 (G)=D [ (x,y) / (u,v) ] dudv‡ [ (x,y) / (u,v) ]>0[ (x,y) / (u,v) ] =
=| (x,y) / (u,v) |‡ (*): G f(x,y)dxdy=D f(x(u,v),y(u,v))| (x,y) / (u,v)|dudv‡
Если G=i=1n Gi, Для Gi (*)-верна(*)- верна для G‡‡‡
Геометр. смысл знака J=[ (x,y) / (u,v) ]: Если J>0=1– Кривая G ориен. “+”
] F-отображ. с полож. якоб.F сохран. ориент. кривых‡Если J<0= -1; Если отобр. F имеет “-” якоб., то оно меняет ориент. кривых.‡‡‡
Геом. смысл | (x,y) / (u,v)| ‡‡I(u,v)=[ (x,y) / (u,v) ]‡ (G)=G |I(u,v)|dudv
] MD: |I(M)|(D); (G)/(D)=|I(M)|‡ diam D0; M=M(D)diamD0M0
|I(M)||I(M0)|‡ |I(M0)|=limdiamD0 [(G)/(D)]‡ |I(M0)|- коэфф., с кот. изм. пл-дь дост. мал. обл., содерж. М0‡
(G)/(D)|I(M0)| если обл. (diamD) дост. ма뇇F- линейно :x=au+bv+g & y=cu+dv+h , a,b,c,d,g,hR‡[ (x,y) / (u,v) ]= a b ; (G) = det a b
c d (D) c d ‡‡
F- непр. дифф. отображ.
F-локально x`u x`v y`u y`v
________________________13_____________________________
Формула Грина.
!!!под интегралом: AB, CD и т.п. – дуги(над ними нужн. ставить “ ”
ab f `(x)dx=f(b)-f(a) a b
Теор. G-кусоч. гладк.; P(x,y), Q(x,y), Py`, Qx`C(G) G (Qx`-Py`)dxdy=
=G Pdx+Qdy‡‡ (x)
Док. D G C
G={(x,y); axb; (x)y(x)} A B
,[a,b]; G-элемент по ОХ (x)
G Py`(x,y)dxdy=ab dx(x)(x) Py`(x,y)dy= a b
=ab P(x,y)(x)(x) dx=ab P(x,(x))dx-ab P(x,(x))dx=перепишем как кривол. интегр.=-AB P(x,y)dx-CD P(x,y)dx-BC P(x,y)dx-DA P(x,y)dx=Pdx
=0, тк x=b
G= Gi
G-эл. обл. G4
G Py`dxdy=i=1n Gi Py`dxdy= G1 G2 G3
=-i=1n Gi Pdx=G Pdx‡
G-эл-на по ОУ
G Qx`dxdy=G Qdy‡
G= Gi , Gi– эл-на по ОХ
G= Hi , Hi– эл-на по ОХ‡‡
Следст: P,Q- в обл. G
Qx`-Py`=1(G)–площадь=G (Pdx+Qdy)
______________________________16_______________________
Сферическая и цилиндрическая системы координат.
M(,,); 0<+; -/2/2; 02 z M
z=sin
x=coscos
y=cossin
(x,y,z) coscos -cossin -sincos y
———= cossin coscos -sinsin =2cos x
(,,) sin 0 cos
G f(x,y,z)dxdydz=G f(coscos,cossin,sin)2cosddd‡‡
‡‡‡‡
Цилиндр. сист. коорд.
M(,,z); 0<+; 02 z M
z=z
x=cos
y=sin y
(x,y,z) cos -sin 0
———= sin cos 0 = x
(,,z) 0 0 1
G f(x,y,z)dxdydz=G f(cos,sin,z) dddz‡‡
____________________________15_________________________
Переход к полярной сист. коорд. Криволинейные координаты на плоскости.
x=cos & y=sin /u=; v=/ y Г2
[ (x,y) / (u,v) ]=|........|=(cos2+sin2)= G
G f(x,y)dxdy=D f(cos,sin) dd= Г1
= d()() f(cos,sin)d
G f(x,y)dxdy =D f(cos,sin) dd x
‡‡‡‡Кривол. коорд. v Ruv Rxy
F- вз/одноз. непр. дифф. отобр. D y G
x=x(u,v) u=u(x,y) v0
y=y(u,v) v=v(x,y)‡‡
(x,y)G !(u,v) F(u,v)=(x,y)‡‡ u0 u x
]u=u0: x=x(u0,v) -коорд-ая‡‡] v=v0: x=x(u,v0)- коорд. линия
y=y(u0,v) линия y=y(u,v0)
D={(u,v), u0uu0+u, v0vv0+v}‡ G={(x,(u,v),y(u,v)), (u,v)D}
G-координатный параллелограмм‡(G)=D |I(u,v)|dudv=|I(M)| uv
MG (g)/( uv) uv0|I(M0)|‡‡‡‡‡
Замена перем. в Rn (это наверное уже лишнее)
Rn ВFGRn F- вз/одноз. непр. дифф. отобр.
x=F(u), x=(x1,...xn)
u=(u1,....un)
x1=x1(u1,....un)
***********
xn=xn(u1,....un)
Теор. ]fR(G) G f(x)dx=D f(F(u))|I(u)|du‡Док. по индук, для 2 х уже доказ.‡
Кривол. коорд. в Rn‡G f(x)dx=D f(F(u))|I(u)|du