Аффинная Геометрия

Добавим, наконец, знаменитый «пятый постулат Евклида» и перейдём к построению евклидовой двумерной геометрии – геометрии на евклидовой плоскости.

Но вначале докажем теорему, прямо вытекающую из возможности откладывать конгруэнтные углы и теорему о внешнем угле.

Упражнение 1.

Пусть дана произвольная прямая а в плоскости  и точка Аа в той же плоскости.

Тогда в плоскости   прямая b инцидентная точке А и не пересекающая прямую а.

Итак, существование такой прямой может быть доказано.

А вот её единственность доказать нельзя. В этом-то и состоит аксиома Евклида.

IV. Пусть а - произвольная прямая и точка аа.

Тогда в плоскости, определяемой прямой а и точкой А, существует не более одной прямой, проходящей через точку А и не пересекающей прямую а.

Def. Эта (единственная!) прямая называется прямой, проходящей через точку А и параллельной прямой а.

Упражнение 2.

Е сли две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то образующиеся при этом соответственные и накрест лежащие углы конгруэнтны.

На этом рисунке углы 1 и 2 – накрест лежащие, а углы 1 и 3 – соответственные.

Верно и обратное: из конгруэнтности этих углов следует параллельность прямых.

Упражнение 3.

Внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним углов.

Упражнение 4.

Сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов (т. е., развёрнутому углу).

Def. Параллелограммом называется четырехугольник, образованный двумя парами параллельных прямых.

Упражнение 5.

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Упражнение 6.

Диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения пополам.

Def. Линия, разделяющая угол на два конгруэнтных угла, называется его биссектрисой.

Трансверсаль треугольника, делящая сторону на два конгруэнтных отрезка, называется медианой. Прямая, инцидентная вершине треугольника и перпендикулярная прямой, содержащей противоположную этой вершине сторону, называется высотой треугольника, опущенной из этой вершины на эту сторону (или на её продолжение).

Упражнение 7.

Ч етырехугольник, у которого имеется две пары равных сторон, имеющих общие вершины называется дельтоидом (по-английски kite – змей).

1. Докажите, что у дельтоида углы при вершинах, инцидентных неравным сторонам, равны.

2. Докажите, что диагональ, соединяющая вершины, инцидентные равным сторонам, является биссектрисой соответствующих углов.

3. докажите, что диагонали этого дельтоида перпендикулярны и вторая диагональ, соединяющая вершины, инцидентные неравным сторонам, делится точкой их пересечения пополам.

Def. Пусть М – некоторая точка плоскости . Совокупность всех точек А плоскости  таких, что отрезки МА конгруэнтны, называется окружностью. Точка М называется её центром. Любой из отрезков МА называется радиусом этой окружности. Отрезок, проходящий через центр, концами которого являются очки окружности, называется диаметром этой окружности. Прямая, имеющая с окружностью лишь одну общую точку называется касательной к этой окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки. называется секущей.