15

ГОУ Школа-интернат «Интеллектуал» Абрамсон Я.И.

Vector spaces

Начнём с более общего понятия, к которому мы будем время от времени возвращаться, но систематически изучать его не предполагаем: надо же оставить что-то и для высшей школы!

1.1. Модули.

Рассмотрим действие R на G, в котором G не просто «множество», а группа, причём абелева (записываемая аддитивно), а R – не просто группа, а кольцо, причём коммутативное и с единицей.

Т .е., помимо того, что R действует на G как (мультипликативный) моноид (1g=g gG и (st)g=s(tg) s,t R, gG), операции сложения в кольце и группе коммутируют с операцией действия: (r₁+r₂) g= r₁×g+r₂×g и r×(g₁+g₂)=r×g₁+r×g₂. Первое из этих равенств означает, что каждый элемент абелевой группы G выступает в качестве гомоморфизма абелевой группы R в абелеву группу G:gHom(R,G). Второе означает, что каждый элемент кольца R можно рассматривать, как эндоморфизм группы G: rEndG. Иллюстрируют эту ситуацию две схемы:

Упражнение 1.

Являются ли возникающие отображения GHom(R,G) и REndG гомоморфизмами групп?.

И вот, если мы имеем дело с описанной выше ситуацией (т.е., когда коммутативное кольцо с единицей R действует на абелеву группу G), то говорят, что G – левый R-модуль или левый модуль над кольцом R. Левым его называют только потому, что мы операцию действия записываем так: слева элемент из R, справа – из G. Если бы записывали в обратном порядке, то G бы называлась правым R-модулем.

Естественно подмодулем G назвать такую подгруппу G, которая сама была бы R-модулем. Для этого необходимо и достаточно, чтобы действие R на элементы этой подгруппы не выводило бы их за её пределы. Итак, подгруппа НG называется ( левым R-) подмодулем (левого R-) модуля G, если RНН.

Упражнение 2 (Примеры).

1. Рассмотрим множество всех многочленов с целыми коэффициентами. Проверьте, что это – модуль над кольцом Z. Найдите в нём его подмодули.

2. Любое кольцо является модулем над самим собой.

3. Любая абелева группа является Z-модулем.

4. Левый идеал кольца R является модулем над ним.

5. Пусть -левый идеал кольца R, М – левый R-модуль. Тогда множество всевозможных конечных сумм М=a₁х₁+a₂х₂+…+a_nx_n, где aia и x_iM является подмодулем М.

Упражнение 3.

Пусть М - R-модуль, а R и R – (левые) идеалы кольца R. Тогда:

(М)=()М и (+)М=М+М.

Упражнение 4.

Если N₁ и N₂ – подмодули М, то (N₁+N₂)=N₁+N₂.

Упражнение 5.

Пересечение R-модулей - R-модуль. Объединение возрастающей цепочки R-модулей - R-модуль.

Упражнение 6.

Пусть N – подмодуль модуля М над R. Дайте определение фактор-модуля М/N. Проверьте его корректность и сам факт того, что построенный фактор-модуль М/N будет действительно R-модулем.

Определение.

Как всегда, когда мы вводим новый объект ( в данном случае – модули), мы даём определение подобъекта (подмодуля), его фактора (фактор-модуля) и его морфизмов. Морфизмы модулей называются, как и в случае групп и колец, гомоморфизмами. Под гомоморфизмом R-модулей М и M` понимается их гомоморфизм как групп, который коммутирует с действием кольца: f:MM`; f(rm)=rf(m) rR, mM.

Говорят также, что f – R-линейное отображение.

Упражнение 7.

Пусть N – подмодуль модуля М над R. Проверьте, что канонический гомоморфизм (это гомоморфизм mm+N) аддитивных групп f:M М/N является также гомоморфизмом модулей.

Упражнение 8.0.

Пусть М – модуль над R. Докажите, что r0=0 (0 – нейтральный элемент М, произвольный элемент кольца R).

Упражнение 8.

Если f:MM` гомоморфизм модулей, то его ядро и образ являются подмодулями в М и M` соответственно.

Определение.

П оследовательность гомоморфизмов модулей называется точной, если Imf=Kerg. Графически это можно изобразить так:

Упражнение 9.

Пусть N – подмодуль модуля М и NМ – вложение (хх),а M М/N – канонический гомоморфизм. Тогда последовательность 0NM М/N0 точна.

На этом мы временно попрощаемся с модулями. Их свойства сильно зависят от качества того самого кольца R, над которым они модули. Чем «лучше» R (область целостности, кольцо главных идеалов и т.п.), тем больше можно сказать о модулях над ним. Самое простое кольцо – это поле. Вот над ним-то мы теперь и будем рассматривать модули.