Элементарные функции по Лиувиллю

Рассматривая функции комплексного переменного, Лиувилль определил элементарные функции несколько шире. Элементарная функция y переменной x — аналитическая функция, которая может быть представлена как алгебраическая функция   от x и функций  , причём z₁ является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции g₁ от x, z₂ является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции g₂ от x и z₁(x) и так далее.

Например, y = sin(x) — элементарная функция в этом смысле, поскольку она является алгебраической функцией e^ix. Функция   тоже является элементарной, поскольку её можно представить в виде:

y = z₂, где  .

Не ограничивая общности рассмотрения, можно считать функции   алгебраически независимы, то есть если алгебраическое уравнение   выполняется для всех x, то все коэффициенты полинома   равны нулю.

Дифференцирование элементарных функций

Элементарные функции бесконечно дифференцируемы всюду, где они определены. При этом производная элементарной функции всегда является элементарной функцией и может быть найдена за конечное число действий. Именно, по правилу дифференцирования сложной функции

где z₁'(z) равно или g₁' / g₁ или z₁g₁' в зависимости от того, логарифм ли z₁ или экспонента и т. д. На практике удобно использовать таблицу производных.

Интегрирование элементарных функций

Интеграл элементарной функции не всегда сам является элементарной функцией. Наиболее распространённые функции, интегралы которых найдены, собраны в таблице интегралов. В общем случае имеет место теорема:

Теорема Лиувилля. Если интеграл от элементарной функции   сам является элементарной функцией, то он представим в виде

где A_i — некоторые комплексные числа, а ψ_i — алгебраические функции своих аргументов.

Доказательство этой теоремы Лиувилль основал на следующем принципе. Если интеграл от y берётся в элементарных функциях, то верно

где ψ — алгебраическая функция, z_{r + 1} — логарифм или экспонента алгебраической функции   и т. д. Функции   являются алгебраически независимыми и удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений вида

где ρ_i — алгебраические функции своих аргументов. Если   — семейство решений этой системы, то

откуда

Для некоторых классов интегралов эта теорема позволяет весьма просто исследовать разрешимость в элементарных функциях задачи об интегрировании.

12. Дизъюнктивные нормальные формы

Дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (ДНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов. Любая булева формула может быть приведена к ДНФ.^[1] Для этого можно использовать закон двойного отрицания, закон де Моргана, закон дистрибутивности. Дизъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем.

Примеры и контрпримеры

Формулы в ДНФ:

Формулы не в ДНФ:

Построение днф Алгоритм построения днф

1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:

2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

3) Избавиться от знаков двойного отрицания.

4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.