Примеры отношений эквивалентности

• Равенство (« »), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.

• Сравнение по модулю, («а ≡ b (mod n)»).

• В Евклидовой геометрии

  • Отношение конгруэнтности (« »).

  • Отношение подобия (« »).

  • Отношение параллельности прямых (« »).

• Эквивалентность функций в математическом анализе:

Говорят, что функция   эквивалентна функции   при  , если она допускает представление вида  , где   при  . В этом случае пишут  , напоминая при необходимости, что речь идет о сравнении функций при  . Если   при  , эквивалентность функций   и   при  , очевидно, равносильна соотношению  .

• Отношение равномощности множеств.

Факторизация отображений

Множество классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности ∼, обозначается символом X / ∼ и называется фактор-множеством относительно ∼. При этом сюръективное отображение

называется естественным отображением (или канонической проекцией) X на фактор-множество X / ∼.

Пусть X, Y — множества,   — отображение, тогда бинарное отношение   определённое правилом

является отношением эквивалентности на X. При этом отображение f индуцирует отображение  , определяемое правилом

или, что то же самое,

.

При этом получается факторизация отображения f на сюръективное отображение p и инъективное отображение  .

9. Отношение эквивалентности. Связь отношений эквивалентности и разбиений множеств Отношение частичного порядка

Определение 1. Бинарное отношение   на множестве   называется отношением частичного порядка¹⁾, если оно удовлетворяет свойствам

1. рефлексивности:   для всех  ;

2. антисимметричности:         для всех  ;

3. транзитивности:         для всех  .

Пример 1. Пусть   — множество всех подмножеств множества  . Отношение включения   на   является отношением частичного порядка.

Пример 2. Упорядочение  ²⁾ на множестве действительных чисел   является отношением частичного порядка.

Пример 3. На множестве комплексных чисел   определим бинарное отношение   как множество упорядоченных пар комплексных чисел   таких, что   и  . Тогда   удовлетворяет свойствам

• рефлексивности;

• антисимметричности;

• транзитивности,

и по определению является отношением частичного порядка.

Пример 4. Отношение делимости на множестве целых чисел  ³⁾ не является отношением частичного порядка, так как не обладает свойством антисимметричности: 2 делится на -2 и -2 делится на 2, но  . Но то же самое отношение на множестве натуральных чисел   является отношением частичного порядка.

Достаточно часто наряду с отношением частичного порядка встречаются бинарные отношения, которые вместо отношения рефлексивности удовлетворяют отношению антирефлексивности. Например, на множестве действительных чисел в случае, если   и   пишут  .

Определение 2. Бинарное отношение   на множестве   называется отношением строгого частичного порядка⁴⁾, если оно удовлетворяет свойствам

1. антирефлексивности:   для всех  ;

2. антисимметричности:         для всех  ;

3. транзитивности:         для всех  .