13. Цилиндрические поверхности

Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей  , если для любой точки M₀ этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей  , целиком принадлежит поверхности S.

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S имеет уравнение f(x,y) = 0, то S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси OZ.

Кривая, задаваемая уравнением f(x,y) = 0 в плоскости z = 0, называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называетсяцилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:
Пара совпавших прямых:	Пара совпавших плоскостей:	Пара пересекающихся плоскостей:

[Править]Конические поверхности

Коническая поверхность.

Поверхность S называется конической поверхностью с вершиной в точке O, если для любой точки M₀ этой поверхности прямая, проходящая через M₀ и O, целиком принадлежит этой поверхности.

Функция F(x,y,z) называется однородной порядка m, если   выполняется следующее: 

Теорема (об уравнении конической поверхности). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) — однородная функция, то S — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность S задана функцией F(x,y,z), являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то Sназывается конической поверхностью второго порядка.

• Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

[Править]Поверхности вращения

Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M₀(x₀,y₀,z₀) этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z = z₀ с центром в (0,0,z₀) и радиусом  , целиком принадлежит этой поверхности.

|  |  |}

В случае, если  , перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

14. Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₂₃yz + 2a₁₃xz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0

в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₁₂, a₂₃, a₁₃ отличен от нуля.

Канонические уравнения      Сфера 

     Сфера радиуса R с центром в начале координат:

     Параметрические уравнения:

     Сфера радиуса R с центром в точке S (a; b; c):

Эллипсоид 

     Каноническое уравнение:

       - трехосный эллипсоид;

       - эллипсоид вращения вокруг оси Oz;

       - эллипсоид вращения вокруг оси Oy;

       - эллипсоид вращения вокруг оси Ox;

       - сфера.

15. Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых иликомплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

Свойства умножения матриц на число

1. 1*A = A;

2. (Λβ)A = Λ(βA)

3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

Сложение матриц

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения  ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность  , B —  , то размерность их произведения AB = C есть  .

Свойства умножения матриц

1.ассоциативность;

2.произведение не коммутативно;

3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей;

4.справедливость дистрибутивного закона;

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);