- •1.Вектор в геометрии — упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая — концом вектора. Сложение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •9. Пучок плоскостей — уравнение любой п., проходящей через линию пересечения двух плоскостей
- •13. Цилиндрические поверхности
- •[Править]Конические поверхности
- •[Править]Поверхности вращения
- •Матричные операции
- •С помощью матрицы алгебраических дополнений
- •Метод Жордана: Алгоритм
- •Аксиомы линейного пространства
- •23. Базис. Размерность
- •Свойства нормы
- •Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
(для комплексных пространств).
Определение. , гдеx — это некоторое число, которое называют собственным вектором оператора А, а λ - собственным значением.
- каждому собственному вектору соответствеут единственое собственное значение.
В пространстве L введём базис: еслиAe -матрица оператора А, тоAeX = λX.
- характирестический многочлен оператора А.
Условие наличия собственных векторов: FA(λ) = 0 - хар-е ур-е ( - корни ур-я, подставляем в систему и находим собственные векторы.)
Для данной матрицы A, χ(λ) = det(A − λE), где Е — единичная матрица, является многочленом от λ, который называется характеристическим многочленом матрицы A (иногда также "вековым уравнением" (secular equation)).
Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение Av = λv имеет не нулевое решение, то (A − λE)v = 0, значит матрица A − λE вырождена и ее определитель det(A − λE) = χ(λ)равен нулю.
27.В n-мерном линейном пространстве фиксируем два базиса e1,e2,…,en и e’1,e’2,…e’n; первый из них назовём старым, второй новым. Предположим, что известно преобразование, переводящее старый базис в новый.
Теорема. Если e1,e2,…,en и e’1,e’2,…e’n – два базиса линейного пространства, A – матрица линейного преобразования в старом базисе e1,e2,…,en, то матрица B этого преобразования в новом базисе e’1,e’2,…e’n имеет вид
B=T-1AT.
где T – матрица перехода от старого базиса к новому.
Следствие: Если линейное преобразование имеет невырожденную матрицу в некотором базисе, то матрица этого преобразования будет невырожденной в любом другом базисе.
Матрица B должна быть подобна матрице A, только в этом случае эти матрицы являются матрицами одного и того же линейного преобразования пространства Vn в соответствующих базисах.