- •1.Вектор в геометрии — упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая — концом вектора. Сложение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •9. Пучок плоскостей — уравнение любой п., проходящей через линию пересечения двух плоскостей
- •13. Цилиндрические поверхности
- •[Править]Конические поверхности
- •[Править]Поверхности вращения
- •Матричные операции
- •С помощью матрицы алгебраических дополнений
- •Метод Жордана: Алгоритм
- •Аксиомы линейного пространства
- •23. Базис. Размерность
- •Свойства нормы
- •Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Свойства нормы
[косинус угла]
[аксиома 1]
25. Ортогона́льная систе́ма элементов векторного пространства со скалярным произведением — такое подмножество векторов , что любые различные два из них ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю:
(φi,φj) = 0.
Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента может быть вычислено по формулам: , где .
Любая полная линейно независимая система в конечномерном пространстве является базисом. От простого базиса, следовательно, можно перейти к ортонормированному базису.
Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространствасо скалярным произведением, обладающая свойством полноты.
Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.
Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:
то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ( ), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.
Процесс Грама (англ.) ― Шмидта — это один из алгоритмов, в которых на основе счётного множества линейно независимыхвекторов строится множество ортогональных векторов или ортонормированных векторов , причём так, что каждый вектор или может быть выражен линейной комбинацией векторов .Алгоритм
Пусть имеются линейно независимые векторы .
Определим оператор проекции следующим образом:
где — скалярное произведение векторов и . Этот оператор проецирует вектор ортогонально на вектор .
Классический процесс Грама — Шмидта выполняется следующим образом:
На основе каждого вектора может быть получен нормированный вектор: (у нормированного вектора направление будет таким же, как у исходного, а длина — единичной).
Результаты процесса Грама — Шмидта:
— система ортогональных векторов либо
— система ортонормированных векторов.
Вычисление носит название ортогонализации Грама — Шмидта, а — ортонормализации Грама — Шмидта.
26. Лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции y = kx) на случай более общего множества аргументов и значений. Лине́йным отображе́нием векторного пространства LK над полем K в векторное пространство MK (лине́йным опера́тором из LK вMK) над тем же полем K называется отображение
,
удовлетворяющее условию линейности
f(x + y) = f(x) + f(y),
f(αx) = αf(x).
для всех и .
Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.
Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.
Выберем базис . Пусть — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:
,
где xk — координаты вектора в выбранном базисе.
Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.
Пусть — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим
.
Вектора также разложим в выбранном базисе, получим
,
где — j-я координата k-го вектора из .
Подставим разложение в предыдущую формулу, получим
.
Выражение , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица при умножении на столбец xk даёт в результате координаты вектора , возникшего от действия оператора на вектор , что и требовалось получить.
Комментарий: Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов . Иными словами, порядок базисных элементов предполагается жёстко упорядоченным.