Аксиомы линейного пространства

1. (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

2. x + y = y + x (коммутативность сложения);

3. (λμ)x = λ(μx) (ассоциативность умножения);

4. (λ + μ)x = λx + μx (дистрибутивность);

5. λ(x + y) = λx + λy (дистрибутивность);

6. в   существует такой элемент  , что   для любого   (нулевой элемент);

7.  (умножение на единицу);

23. Базис. Размерность

• Конечная сумма вида

называется линейной комбинацией элементов   с коэффициентами  .

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

• Элементы   называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу θ. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.

• Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

• Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меляили линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:

  • Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.

  • Любой вектор   можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

.

Конечномерное пространство: Евклидово пространство   имеет размерность 3, за его базис можно выбрать тройку векторов

Бесконечномерное пространство: Линейное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа   в нем найдется линейно независимая система, состоящая из   векторов. Пример: Линейное пространство непрерывных на сегменте функций является бесконечномерным. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть степенные функции  . Нетрудно установить их линейную зависимость.

24. Евкли́дово простра́нство — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно n-мерное евклидово пространство обозначается  , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение  .

Аксиомы скалярного произведения:

1. (y, x) = (x, y) ;

2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ;

3. (αx, y) = α(x, y) ;

4. (x, x)>0 x ≠ θ .

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве.

Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением  . Пусть   — норма, порождённая скалярным произведением, то есть  . Тогда для любых   имеем:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны (коллинеарны).

,

в простейшем случае (евклидова норма):

где   (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).