Матричные операции

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

A + Θ = A

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

• Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.

• Коммутативность сложения: A + B = B + A.

• Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.

• Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно:  . Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.

• Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC;

(B + C)A = BA + CA.

• С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.

• Свойства операции транспонирования матриц:

(A^T)^T = A

(AB)^T = B^TA^T

(A ^{− 1})^T = (A^T) ^{− 1}, если обратная матрица A ^{− 1} существует.

(A + B)^T = A^T + B^T

detA = detA^T

16. Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

С помощью матрицы алгебраических дополнений

C^T — транспонированная матрица алгебраических дополнений;

17. Минор   матрицы A ― определитель квадратной матрицы порядка k (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице A на пересечении строк с номерами   и столбцов с номерами  .

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ― угловым или ведущим главным.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимойподсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Теорема (о базисном миноре): Пусть   — базисный минор матрицы A, тогда:

1. базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

2. любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

Следствия:

• Если ранг матрицы равен r, то любые p:p > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.

• Если A — квадратная матрица, и  , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

• Пусть  , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

• Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

• Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.